Giải thích các bước giải:

$\begin{aligned}
&\text{Gọi } H \text{ là trung điểm của đoạn thẳng } BD. \\
&\text{Vì } \Delta SBD \text{ cân tại } S \text{ nên trung tuyến } SH \text{ đồng thời là đường cao, do đó } SH \perp BD. \text{} \\
&\text{Mặt phẳng } (SBD) \text{ vuông góc với mặt phẳng đáy } (ABCD) \text{ theo giao tuyến } BD. \text{} \\
&\text{Suy ra } SH \perp (ABCD), \text{ hay } SH \text{ chính là chiều cao của khối chóp } S.ABCD. \\
&\text{Diện tích đáy } ABCD \text{ (hình thang vuông tại } A \text{ và } D \text{) là:} \\
&S_{ABCD} = \dfrac{1}{2} \cdot AD \cdot (AB + CD) = \dfrac{1}{2} \cdot 1 \cdot (1 + 2) = \dfrac{3}{2} \text{ (cm}^2\text{)}. \text{} \\
&\text{Thể tích khối chóp là } V = \sqrt{2} \text{ cm}^3, \text{ ta có:} \text{} \\
&V = \dfrac{1}{3} \cdot S_{ABCD} \cdot SH \Rightarrow \sqrt{2} = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{3}{2} \cdot SH \Rightarrow SH = 2\sqrt{2} \text{ (cm)}. \\
&\text{Ta cần tính } d(D, (SBC)). \text{ Do } BD \text{ cắt } (SBC) \text{ tại } B \text{ và } H \text{ là trung điểm } BD \text{ nên:} \\
&\dfrac{d(D, (SBC))}{d(H, (SBC))} = \dfrac{DB}{HB} = 2 \Rightarrow d(D, (SBC)) = 2d(H, (SBC)). \\
&\text{Trong mặt phẳng } (ABCD), \text{ kẻ } HK \perp BC \text{ tại } K. \\
&\text{Vì } SH \perp (ABCD) \text{ nên } SH \perp BC. \\
&\text{Từ đó suy ra } BC \perp (SHK) \Rightarrow (SBC) \perp (SHK) \text{ theo giao tuyến } SK. \\
&\text{Trong mặt phẳng } (SHK), \text{ kẻ } HI \perp SK \text{ tại } I \Rightarrow HI \perp (SBC). \\
&\text{Khoảng cách cần tìm liên hệ với } HI \text{ là } d(H, (SBC)) = HI. \\
&\text{Tính } HK: \text{ Kẻ đường cao } BM \text{ của hình thang từ } B \text{ xuống } CD \text{ } (M \in CD). \\
&\text{Tứ giác } ABMD \text{ là hình chữ nhật nên } BM = AD = 1 \text{ và } DM = AB = 1 \Rightarrow MC = CD - DM = 1. \\
&\text{Xét tam giác vuông } BMC \text{ có } BC = \sqrt{BM^2 + MC^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \text{ (cm)}. \\
&\text{Diện tích tam giác } BCD \text{ là } S_{\Delta BCD} = \dfrac{1}{2} \cdot AD \cdot CD = \dfrac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2 = 1 \text{ (cm}^2\text{)}. \\
&\text{Vì } H \text{ là trung điểm } BD \text{ nên } S_{\Delta HBC} = \dfrac{1}{2}S_{\Delta BCD} = \dfrac{1}{2} \text{ (cm}^2\text{)}. \\
&\text{Lại có } S_{\Delta HBC} = \dfrac{1}{2} \cdot HK \cdot BC \Rightarrow \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2} \cdot HK \cdot \sqrt{2} \Rightarrow HK = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \text{ (cm)}. \\
&\text{Xét tam giác vuông } SHK \text{ tại } H \text{, có đường cao } HI: \\
&\dfrac{1}{HI^2} = \dfrac{1}{SH^2} + \dfrac{1}{HK^2} = \dfrac{1}{(2\sqrt{2})^2} + \dfrac{1}{\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^2} = \dfrac{1}{8} + 2 = \dfrac{17}{8}. \\
&\Rightarrow HI^2 = \dfrac{8}{17} \Rightarrow HI = \dfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt{17}} \text{ (cm)}. \\
&\text{Vậy khoảng cách từ } D \text{ đến } (SBC) \text{ là:} \\
&d(D, (SBC)) = 2HI = \dfrac{4\sqrt{2}}{\sqrt{17}} \approx 1,37 \text{ (cm)}. \text{}
\end{aligned}$