Giải thích các bước giải:

$\begin{aligned}
&\text{Xét phương trình: } 3x^2 - 5x - 7 = 0 \text{ có } a \cdot c = 3 \cdot (-7) = -21 < 0. \\
&\text{Do đó, phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt } x_1, x_2. \\
&\text{Theo hệ thức Vi-ét, ta có: } 
\begin{cases} 
x_1 + x_2 = \dfrac{5}{3} \\ 
x_1 \cdot x_2 = -\dfrac{7}{3} 
\end{cases} \\
&\text{Ta có: } (x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 = \left(\dfrac{5}{3}\right)^2 - 4 \cdot \left(-\dfrac{7}{3}\right) = \dfrac{109}{9}. \\
&\Rightarrow x_1 - x_2 = \pm \dfrac{\sqrt{109}}{3}. \\
&\text{Vì } x_1 \text{ là nghiệm của phương trình nên: } 3x_1^2 - 5x_1 - 7 = 0 \Rightarrow 4x_1^2 = \dfrac{20}{3}x_1 + \dfrac{28}{3}. \\
&\text{Thay vào biểu thức } A \text{ ta có: } \\
&A = \left(\dfrac{20}{3}x_1 + \dfrac{28}{3}\right) + \dfrac{5}{3}x_2 - 5 \\
&A = 5x_1 + \left(\dfrac{5}{3}x_1 + \dfrac{5}{3}x_2\right) + \dfrac{28}{3} - 5 \\
&A = 5x_1 + \dfrac{5}{3}(x_1 + x_2) + \dfrac{13}{3} \\
&\text{Mà } x_1 = \dfrac{(x_1 + x_2) + (x_1 - x_2)}{2}. \\
&A = 5 \cdot \left[ \dfrac{(x_1 + x_2) + (x_1 - x_2)}{2} \right] + \dfrac{5}{3}(x_1 + x_2) + \dfrac{13}{3} \\
&A = \dfrac{5}{2}(x_1 - x_2) + \left( \dfrac{5}{2} + \dfrac{5}{3} \right)(x_1 + x_2) + \dfrac{13}{3} \\
&A = \dfrac{5}{2}(x_1 - x_2) + \dfrac{25}{6}(x_1 + x_2) + \dfrac{13}{3} \\
&\text{Thay } x_1 + x_2 = \dfrac{5}{3} \text{ vào biểu thức: } \\
&A = \dfrac{5}{2}(x_1 - x_2) + \dfrac{25}{6} \cdot \dfrac{5}{3} + \dfrac{13}{3} \\
&A = \dfrac{5}{2}(x_1 - x_2) + \dfrac{125}{18} + \dfrac{78}{18} \\
&A = \dfrac{5}{2}(x_1 - x_2) + \dfrac{203}{18}. \\
&\text{Ta có:} \\
&\bullet \text{ Trường hợp 1: Với } x_1 - x_2 = \dfrac{\sqrt{109}}{3} \\
&\Rightarrow A = \dfrac{5}{2} \cdot \left( \dfrac{\sqrt{109}}{3} \right) + \dfrac{203}{18} = \dfrac{15\sqrt{109} + 203}{18}. \\
&\bullet \text{ Trường hợp 2: Với } x_1 - x_2 = -\dfrac{\sqrt{109}}{3} \\
&\Rightarrow A = \dfrac{5}{2} \cdot \left( -\dfrac{\sqrt{109}}{3} \right) + \dfrac{203}{18} = \dfrac{-15\sqrt{109} + 203}{18}. \\
&\text{Vậy giá trị của biểu thức } A \text{ ứng với 2 trường hợp của } (x_1 - x_2) \text{ là } \dfrac{203 \pm 15\sqrt{109}}{18}.
\end{aligned}$