Tháng Giêng năm Nhâm Ngọ (1102), thời vua Lý Thánh Tông, kinh thành Thăng Long xảy ra một hiện tượng thời tiết vô cùng kì lạ được Đại Việt sử ký toàn thư ghi lại: "Mùa xuân, tháng giêng, tuyết rơi dày hơn một tấc, nước hồ đóng băng". Để dự báo tốc độ tan của tuyết, các quan Khâm Thiên Giám đã lập mô hình xác định hàm mật độ tuyết $f(x)$ liên tục trên $f(x)$ thỏa mãn phương trình vi phân biến phân:  $$x \cdot f'(x) + f(x) = x^3 \cdot f^2(x), \quad \forall x \in (0; +\infty)$$ Biết mật độ tuyết được đo tại thềm điện Kinh Thiên ($x=1$) là $f(1) = \frac{2}{3}$ Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y = f(x)$, trục hoành $Ox$ và hai đường thẳng $x = 1$, $x = \sqrt{3}$ (phạm vi sân điện cần cào tuyết)? [created by Mai Linh]