1.

Tứ giác `ADHE` có `hat(A) = hat(D) = hat(E) = 90^@ => ADHE` là hình chữ nhật
`=> AD = HE` và `AE = HD`
Ta có: `S_(ABC) = S_(ADHE) + S_(BDH) + S_(CEH)`      `(star)`
Theo giả thiết `S_(ABC) = 2 S_(ADHE) => S_(BDH) + S_(CEH) = S_(ADHE)`
Ta có:
`{(S_(BDH) = 1/2 BD * DH = 1/2 BD * AE),(S_(CEH) = 1/2 CE * EH = 1/2 CE * AD),(S_(ADHE) = AD * AE):}`
Thay vào `(star)=>1/2 BD * AE + 1/2 CE * AD = AD * AE`
`AD, AE > 0`, ta chia cả 2 vế cho `AD * AE`

`=>(BD)/(AD) + (CE)/(AE) = 2`      `(1)`
Xét `triangle HDB` và `triangle EHC` có:
`hat(BDH) = hat(CEH) = 90^@`
`hat(DBH) = hat(EHC)` (cùng phụ `hat(C)`)
`=> triangle HDB ᔕ triangle EHC` (g-g)
`=> (BD)/(DH) = (EH)/(EC)` (tỉ lệ tương ứng)

`=> (BD)/(AE) = (AD)/(CE) => (CE)/(AE) = (AD)/(BD)`
Đặt `x = (BD)/(AD)` (`x > 0`) `=> (CE)/(AE) = 1/x`
Thay vào `(1)` ta được: `x + 1/x = 2 <=> (x - 1)^2/x = 0 <=> x = 1`
`=> (BD)/(AD) = 1 => BD = AD => D` là trung điểm `AB`
`triangle AHB` vuông tại `H` có đường cao `HD` đồng thời là trung tuyến

`=> triangle AHB` vuông cân tại `H => hat(B) = 45^@`
`triangle ABC` vuông tại `A` có `hat(B) = 45^@ => triangle ABC` vuông cân tại `A`

(ĐPCM)

2.

Tứ giác `APOQ` có `hat(A) = hat(P) = hat(Q) = 90^@ => APOQ` là hình chữ nhật
`=> OP^2 + OQ^2 = PQ^2 = OA^2`
Đặt `S = ON^2 + OP^2 + OQ^2 = ON^2 + OA^2`
Kẻ `AH bot BC` Kẻ `OK bot AH` (`K in AH`)
Tứ giác `ONHK` có `hat(H) = hat(N) = hat(K) = 90^@`

`=> ONHK` là hình chữ nhật `=> ON = HK`
`triangle OKA` vuông tại `K => OA^2 = OK^2 + AK^2`
`=> S = HK^2 + OK^2 + AK^2 = OK^2 + (AK^2 + HK^2)`
Điểm `K in AH => AK + HK = AH`
Áp dụng BĐT phụ `x^2 + y^2 >= (x+y)^2/2`, ta có:
`AK^2 + HK^2 >= (AK + HK)^2/2 = (AH^2)/2`
`=> S = OK^2 + AK^2 + HK^2 >= (AH^2)/2`
Vậy `S_min = (AH^2)/2`

Dấu "`=`" xảy ra `<=>{((OK)^2 = 0), (AK = HK):} <=> {(O in AH), (K text( là trung điểm ) AH):}`
`=> O` là trung điểm của đường cao `AH`