Vì bài khó nên các bước chứng minh đồng dạng cơ bản có thể làm tắt đi

Xét các cặp tam giác vuông đồng dạng trong `triangle ABC` nhọn:
`triangle CAF ᔕ triangle BAE => (CF)/(AF) = (BE)/(AE) = x`
`triangle CBF ᔕ triangle ABD => (CF)/(BF) = (AD)/(BD) = y`
`triangle CAD ᔕ triangle CBE => (AD)/(CD) = (BE)/(CE) = z`
Xét các tam giác vuông chung cạnh `HD`:
`triangle BHD ᔕ triangle ACD` (cùng phụ `hat(C)`) `=> (BD)/(HD) = (AD)/(CD) = z`
`triangle CHD ᔕ triangle ABD` (cùng phụ `hat(B)`) `=> (CD)/(HD) = (AD)/(BD) = y`
`=> (BC)/(HD) = (BD + CD)/(HD) = (BD)/(HD) + (CD)/(HD) = y + z`
Chứng minh tương tự:
`=>{((AB)/(FH) = x + y),((AC)/(HE) = x + z):}`
`=> P = (x+y)^2 + (x+z)^2 + (y+z)^2`
Ta có: `BC = BD + CD = (AD)/y + (AD)/z = AD * (y+z)/(yz)`
`=> (BC)/(AD) = (y+z)/(yz)`
Kết hợp với `(HD)/(BC) = 1/(y+z)` (cmt), ta được
`(HD)/(AD) = (HD)/(BC) * (BC)/(AD) = 1/(y+z) * (y+z)/(yz) = 1/(yz)`
Tương tự: `{((HE)/(BE) = 1/(xz)), ((HF)/(CF) = 1/(xy)):}`
Mà: `(HD)/(AD) + (HE)/(BE) + (HF)/(CF) = 1`
`=> 1/(yz) + 1/(xz) + 1/(xy) = 1 <=> x + y + z = xyz`
`x + y + z >= 3 root(3)(xyz)=> xyz >= 3 root(3)(xyz)`

`=> (xyz)^2 >= 27 => xyz >= 3sqrt(3)`
`=> x + y + z >= 3sqrt(3)`
Giờ ta đánh giá `P`:
`P= (x+y)^2 + (x+z)^2 + (y+z)^2`
`= 2x^2 + 2y^2 + 2z^2 + 2xy + 2yz + 2zx`
`= (x^2 + y^2 + z^2) + (x + y + z)^2`
Sử dụng BĐT phụ `x^2 + y^2 + z^2 >= 1/3 * (x + y + z)^2`
`=>P >= 1/3 * (x + y + z)^2 + (x + y + z)^2 = 4/3 (x + y + z)^2`
`>= 4/3  (3sqrt(3))^2 = 4/3 * 27 = 36`
Dấu "`=`" xảy ra `<=> x = y = z = sqrt(3) <=> triangle ABC` đều.