Giải thích các bước giải:

$\begin{aligned}
& \text{a) Gọi } A_0, P_0 \text{ là vị trí xuất phát của hai cầu thủ, khoảng cách ban đầu } A_0P_0 = L = 20 \text{ m.} \\
& \text{Gọi } N \text{ là giao điểm của hai quỹ đạo chuyển động.} \\
& \text{Xét tam giác vuông } A_0P_0N \text{ tại } A_0: \\
& P_0N = \dfrac{A_0P_0}{\cos 30^\circ} = \dfrac{20}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}} = \dfrac{40\sqrt{3}}{3} \text{ (m)} \\
& A_0N = A_0P_0 \cdot \tan 30^\circ = 20 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{3} = \dfrac{20\sqrt{3}}{3} \text{ (m)} \\
& \text{Gọi } t_0 \text{ là thời gian để cầu thủ } P \text{ chạy từ } P_0 \text{ đến } N: \\
& t_0 = \dfrac{P_0N}{v_2} = \dfrac{\dfrac{40\sqrt{3}}{3}}{4} = \dfrac{10\sqrt{3}}{3} \text{ (s)} \\
& \text{Quãng đường cầu thủ } A \text{ di chuyển được trong thời gian } t_0: \\
& s_A = v_1 \cdot t_0 = 4 \cdot \dfrac{10\sqrt{3}}{3} = \dfrac{40\sqrt{3}}{3} \text{ (m)} \\
& \text{Gọi } A_1 \text{ là vị trí của cầu thủ } A \text{ khi } P \text{ đi qua } N. \text{ Khoảng cách từ } N \text{ đến } A_1: \\
& NA_1 = s_A - A_0N = \dfrac{40\sqrt{3}}{3} - \dfrac{20\sqrt{3}}{3} = \dfrac{20\sqrt{3}}{3} \text{ (m)} \\
& \text{Gọi } t \text{ là thời gian từ lúc } A \text{ chuyền bóng tại } A_1 \text{ đến khi } P \text{ nhận được bóng tại } P_1. \\
& \text{Quãng đường quả bóng bay và quãng đường } P \text{ chạy tiếp từ } N \text{ trong thời gian } t: \\
& A_1P_1 = v_3 \cdot t = 4t \text{ (m)} \\
& NP_1 = v_2 \cdot t = 4t \text{ (m)} \\
& \widehat{A_0NP_0} = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \\
& \widehat{A_1NP_1} = \widehat{A_0NP_0} = 60^\circ \text{ (hai góc đối đỉnh)} \\
& A_1P_1 = NP_1 = 4t \\
& \text{Tam giác } NA_1P_1 \text{ cân tại } P_1 \text{ và có góc } \widehat{A_1NP_1} = 60^\circ \text{ nên là tam giác đều.} \\
& 4t = NA_1 = \dfrac{20\sqrt{3}}{3} \\
& t = \dfrac{5\sqrt{3}}{3} \text{ (s)} \\
& \text{Phương chuyền bóng } A_1P_1 \text{ hợp với phương chuyển động của } A \text{ (tia } NA_1 \text{) một góc:} \\
& \alpha_{chuyen} = 180^\circ - \widehat{NA_1P_1} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \\
& \text{b) Gắn hệ trục tọa độ } Oxy \text{, gốc } O \equiv A_0 \text{, trục } Ox \text{ trùng với tia } A_0N. \\
& \text{Gọi } t_k \text{ là thời gian chuyển động tính từ lúc xuất phát.} \\
& \text{Tọa độ của cầu thủ } A \text{ tại thời điểm } t_k: \\
& x_A = v_1 \cdot t_k = 4t_k \\
& y_A = 0 \\
& \text{Tọa độ xuất phát của cầu thủ } P \text{ là } P_0(0; -20). \\
& \text{Vận tốc chuyển động của } P \text{ được phân tích thành hai thành phần:} \\
& v_{Px} = v_2 \cdot \sin 30^\circ = 4 \cdot \dfrac{1}{2} = 2 \\
& v_{Py} = v_2 \cdot \cos 30^\circ = 4 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} \\
& \text{Tọa độ của cầu thủ } P \text{ tại thời điểm } t_k: \\
& x_P = 2t_k \\
& y_P = -20 + 2\sqrt{3}t_k \\
& \text{Bình phương khoảng cách } d \text{ giữa hai cầu thủ } A \text{ và } P: \\
& d^2 = (x_A - x_P)^2 + (y_A - y_P)^2 \\
& d^2 = (4t_k - 2t_k)^2 + (0 - (-20 + 2\sqrt{3}t_k))^2 \\
& d^2 = 4t_k^2 + (20 - 2\sqrt{3}t_k)^2 \\
& d^2 = 4t_k^2 + 400 - 80\sqrt{3}t_k + 12t_k^2 \\
& d^2 = 16t_k^2 - 80\sqrt{3}t_k + 400 \\
& d^2 = 16\left(t_k^2 - 5\sqrt{3}t_k + \dfrac{75}{4}\right) + 400 - 16 \cdot \dfrac{75}{4} \\
& d^2 = 16\left(t_k - \dfrac{5\sqrt{3}}{2}\right)^2 + 400 - 300 \\
& d^2 = 16\left(t_k - \dfrac{5\sqrt{3}}{2}\right)^2 + 100 \\
& 16\left(t_k - \dfrac{5\sqrt{3}}{2}\right)^2 \ge 0 \\
& d^2 \ge 100 \\
& d \ge 10 \\
& \text{Khoảng cách nhỏ nhất đạt được khi } t_k = \dfrac{5\sqrt{3}}{2} \text{ (s).} \\
& \text{Kết quả: Thời gian chuyền bóng là } \dfrac{5\sqrt{3}}{3} \text{ s, góc chuyền } 120^\circ \text{, khoảng cách nhỏ nhất là } 10 \text{ m.}
\end{aligned}$