Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Vận tốc của ô tô: $v_1 = 54 \text{ km/h} = 15 \text{ m/s}$.

Gọi $A$ là vị trí ban đầu của người hành khách.

Gọi $B$ là vị trí ban đầu của ô tô. Khoảng cách $AB = a = 400 \text{ m}$.

Kẻ $AH$ vuông góc với đường đi của ô tô ($BH$). Khoảng cách từ người đến đường là $AH = d = 80 \text{ m}$.

Gọi $C$ là điểm mà người đó gặp được ô tô (nằm trên đường thẳng $BH$).

Gọi $v_2$ là vận tốc chạy của người hành khách.

Thời gian để ô tô đi từ $B$ đến điểm gặp nhau $C$ là: $t = \frac{BC}{v_1}$

Thời gian để người chạy từ $A$ đến điểm gặp nhau $C$ là: $t = \frac{AC}{v_2}$

Vì cả hai đến $C$ cùng một lúc, ta có phương trình:

$\frac{BC}{v_1} = \frac{AC}{v_2} \Rightarrow v_2 = v_1 \cdot \frac{AC}{BC}$

Xét tam giác $ABC$, áp dụng định lý hàm số Sin, ta có:

$\frac{AC}{\sin \widehat{B}} = \frac{BC}{\sin \widehat{A}}$

Suy ra tỉ số:

$\frac{AC}{BC} = \frac{\sin \widehat{B}}{\sin \widehat{A}}$

Thay tỉ số này vào phương trình vận tốc ở trên, ta được:

$v_2 = v_1 \cdot \frac{\sin \widehat{B}}{\sin \widehat{A}}$

Xét tam giác vuông $ABH$ (vuông tại $H$), ta có thể tính được $\sin \widehat{B}$:

$\sin \widehat{B} = \frac{AH}{AB} = \frac{d}{a} = \frac{80}{400} = \frac{1}{5}$:

$v_2 = 15 \cdot \frac{\frac{1}{5}}{\sin \widehat{A}} = \frac{3}{\sin \widehat{A}}$

Từ công thức này, để người đó chạy với vận tốc nhỏ nhất ($v_2$ nhỏ nhất) thì mẫu số ($\sin \widehat{A}$) phải lớn nhất.

Vì $\widehat{A}$ là một góc trong tam giác, giá trị lớn nhất của $\sin \widehat{A}$ là $1$, đạt được khi góc $\widehat{A} = 90^\circ$.

Vậy :

Vận tốc chạy nhỏ nhất cần thiết là:

$v_{2\text{min}} = \frac{3}{1} = 3 \text{ m/s}$

Vì góc $\widehat{A} (\widehat{BAC}) = 90^\circ$, người đó phải chạy theo hướng vuông góc với đường thẳng nối vị trí ban đầu của mình và ô tô (tức là chạy theo hướng $AC$ sao cho $AC \perp AB$).