Giải thích các bước giải:

$\begin{aligned}
& \text{Gọi } x \text{ là độ dài cạnh đáy hình vuông của chiếc hộp } (x > 0, \text{ đơn vị: m}). \\
& \text{Gọi } h \text{ là chiều cao của chiếc hộp } (h > 0, \text{ đơn vị: m}). \\
& V = x^2h \\
& x^2h = 18 \\
& h = \dfrac{18}{x^2} \\
& \text{Diện tích phần đáy hộp:} \\
& S_{\text{đáy}} = x^2 \\
& \text{Diện tích phần xung quanh hộp (gồm 4 mặt bên):} \\
& S_{\text{xq}} = 4xh \\
& \text{Gọi } T \text{ là tổng chi phí làm hộp (đơn vị: đồng).} \\
& T = 120000 \cdot S_{\text{đáy}} + 90000 \cdot S_{\text{xq}} \\
& T = 120000x^2 + 90000 \cdot 4xh \\
& T = 120000x^2 + 360000xh \\
& T = 120000x^2 + 360000x \cdot \dfrac{18}{x^2} \\
& T = 120000x^2 + \dfrac{6480000}{x} \\
& T = 120000 \left(x^2 + \dfrac{54}{x}\right) \\
& T = 120000 \left(x^2 + \dfrac{27}{x} + \dfrac{27}{x}\right) \\
& \text{Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số thực dương } x^2, \dfrac{27}{x}, \dfrac{27}{x}: \\
& x^2 + \dfrac{27}{x} + \dfrac{27}{x} \ge 3\sqrt[3]{x^2 \cdot \dfrac{27}{x} \cdot \dfrac{27}{x}} \\
& x^2 + \dfrac{54}{x} \ge 3\sqrt[3]{729} \\
& x^2 + \dfrac{54}{x} \ge 3 \cdot 9 \\
& x^2 + \dfrac{54}{x} \ge 27 \\
& T \ge 120000 \cdot 27 \\
& T \ge 3240000 \\
& \text{Chi phí nhỏ nhất là } 3240000 \text{ đồng.} \\
& \text{Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:} \\
& x^2 = \dfrac{27}{x} \\
& x^3 = 27 \\
& x = 3 \text{ (Thỏa mãn điều kiện)} \\
& \text{Kết quả: Bác Nam nên chọn kích thước cạnh đáy hộp là } 3 \text{ mét để tổng chi phí thấp nhất.}
\end{aligned}$