Ta có:

`A=10x^2+2y^2+2z^2+6xy+2yz+2xz+5`

`A=(9x^2+6xy+y^2)+(x^2+2xz+z^2)+(y^2+2yz+z^2)+5`

`A=(3x+y)^2+(x+z)^2+(y+z)^2+5`

Do `(3x+y)^2ge0,(x+z)^2ge0,(y+z)^2ge0AAx,y,z`

`=> A ge5>0`

Vậy biểu thức `A` luôn nhận giá trị dương với mọi `x,y,z`

_----------------------_

Gọi `4` số tự nhiên liên tiếp là `m,n+1,n+2,n+3 \ (n in NN)`

Xét tích:

`P=n(n+1)(n+2)(n+3)+1`

`P=[n(n+3)].[(n+1)(n+2)]+1`

`P=(n^2+3n).(n^2+3n+2)+1`

Đặt `t=n^2+3n`, ta có:

`P=t(t+2)+1=t^2+2t+1=(t+1)^2`

Thay `t` lại trở thành: `P=(n^2+3n+1)^2`

Do `n` là số tự nhiên nên `n^2+3n+1` là số tự nhiên.

Vậy `P` là `1` số chính phương.

_----------------------_

Ta có số dạng `4^k-1`

Với mọi số nguyên dương `k>1`, biểu thức `4^k-1` luôn chia hết cho `(4-1)=3`

`4^(3^2022)-1=(4-1)(4^((3^2022)-1)+4^((3^2022)-2)+...+1)`

Do `4^(3^2022)-1` chia hết cho `3` và lớn hơn `3` nên nó chắc chắn là `1` hợp số.

_----------------------_

Đặt `a=x+y,b=y+z,c=z+x`

Khi đó, `M=N` trở thành:

`a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca`

`2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0`

`(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0`

Điểu này xảy ra khi và chỉ khi `a=b=c`

Thay ngược lại:

`a+y=y+z=>x=z`

`y+z=z+x=>y=x`

Vậy `x=y=z` (đpcm)

$\color{#FF2E8A}{♡^♡}
\color{#FF3B94}{𝕻}
\color{#FF4FA3}{𝖍}
\color{#FF61AE}{𝖚}
\color{#FF73B6}{𝖔}
\color{#FF85BF}{𝖓}
\color{#FF97C8}{𝖌}
\color{#FFA9D1}{𝖌} \ 
\color{#FFB9D9}{𝕷}
\color{#FFC9E1}{𝖎}
\color{#FFD6E8}{𝖓}
\color{#FFE3EF}{𝖍}
\color{#FFF0F6}{𝖍}
\color{#FF2E8A}{♡^♡}$