Gọi $p$ là một số nguyên tố bất kỳ.

Theo công thức Legendre, số mũ của $p$ trong phân tích tiêu chuẩn của $m!$ là:

$v_p(m!) = \sum_{k=1}^{\infty} \left\lfloor \frac{m}{p^k} \right\rfloor$

Số mũ của $p$ trong phân tích tiêu chuẩn của tích $a!.b!\dots n!$ là:

$v_p(a!.b!\dots n!) = v_p(a!) + v_p(b!) + \dots + v_p(n!) = \sum_{k=1}^{\infty} \left( \left\lfloor \frac{a}{p^k} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{b}{p^k} \right\rfloor + \dots + \left\lfloor \frac{n}{p^k} \right\rfloor \right)$

Áp dụng tính chất phần nguyên $\lfloor x_1 \rfloor + \lfloor x_2 \rfloor + \dots + \lfloor x_k \rfloor \le \lfloor x_1 + x_2 + \dots + x_k \rfloor$, ta có:

$\left\lfloor \frac{a}{p^k} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{b}{p^k} \right\rfloor + \dots + \left\lfloor \frac{n}{p^k} \right\rfloor \le \left\lfloor \frac{a+b+\dots+n}{p^k} \right\rfloor$

Theo đề bài $a+b+\dots+n \le m$, suy ra:

$\left\lfloor \frac{a+b+\dots+n}{p^k} \right\rfloor \le \left\lfloor \frac{m}{p^k} \right\rfloor$

$\Rightarrow v_p(a!.b!\dots n!) \le v_p(m!)$ với mọi số nguyên tố $p$.

$\Rightarrow a!.b!\dots n!$ là ước của $m!$.

Vậy $\frac{m!}{(a!).(b!).\dots(n!)}$ luôn là số tự nhiên.