cứu câu d vớiiiiiiii

Đáp án:

    a) Chứng minh BE là đường trung trực của AD

• Xét hai tam giác vuông ABE (vuông tại A do góc BAC bằng 90 độ) và tam giác vuông DBE (vuông tại D do ED vuông góc với BC):
  • Cạnh huyền BE chung.
  • BA bằng BD (theo giả thiết).
• Do đó, tam giác ABE bằng tam giác DBE (theo trường hợp cạnh huyền – cạnh góc vuông).
• Suy ra EA bằng ED (hai cạnh tương ứng).
• Vì BA bằng BD và EA bằng ED nên hai điểm B và E cùng cách đều hai đầu mút A và D.
• Kết luận: BE là đường trung trực của đoạn thẳng AD.

b) Chứng minh AD là tia phân giác của góc HAC

• Vì BD bằng BA nên tam giác BAD cân tại B, suy ra: góc BAD bằng góc BDA.
• Trong tam giác vuông AHD (vuông tại H), ta có: góc HAD cộng góc HDA bằng 90 độ. Suy ra góc HAD bằng 90 độ trừ đi góc BDA.
• Mặt khác, do góc BAC bằng 90 độ nên: góc DAC bằng 90 độ trừ đi góc BAD.
• Vì góc BAD bằng góc BDA nên từ hai điều trên suy ra: góc HAD bằng góc DAC.
• Kết luận: AD là tia phân giác của góc HAC.

c) Chứng minh HD nhỏ hơn DC

• Xét tam giác vuông AHD vuông tại H, ta có cạnh huyền AD là cạnh lớn nhất: Suy ra HD nhỏ hơn AD (điều số 1).
• Mặt khác, xét tam giác ADC:
  • Góc ADC là góc ngoài của tam giác BAD tại đỉnh D, nên góc ADC bằng góc B cộng góc BAD (do đó góc ADC lớn hơn góc BAD).
  • Mà tam giác BAD cân tại B nên góc BAD bằng góc BDA.
  • Xét tam giác vuông AHD vuông tại H nên góc BDA lớn hơn góc HAD.
  • Kết hợp với kết quả câu b (góc HAD bằng góc DAC), ta suy ra: góc ADC lớn hơn góc DAC.
• Trong tam giác ADC, do góc ADC lớn hơn góc DAC nên cạnh đối diện tương ứng sẽ lớn hơn: Suy ra AD nhỏ hơn DC (điều số 2).
• Từ điều số 1 và điều số 2 suy ra: HD nhỏ hơn AD, và AD lại nhỏ hơn DC.
• Kết luận: HD nhỏ hơn DC.

d) Chứng minh ba đường thẳng AB, DE, CF đồng quy

• Xét tam giác EBC:
  • Đường thẳng ED vuông góc với BC tại D, nên ED là đường cao thứ nhất của tam giác EBC.
  • Theo giả thiết, CF vuông góc với BE tại F, nên CF là đường cao thứ hai của tam giác EBC.
  • Ta có góc BAC bằng 90 độ nên BA vuông góc với AC (hay BA vuông góc với EC), suy ra AB là đường cao thứ ba của tam giác EBC.
• Trong một tam giác, ba đường cao luôn cùng cắt nhau tại một điểm (đồng quy tại trực tâm của tam giác).
• Kết luận: Ba đường thẳng AB, DE, CF đồng quy tại trực tâm của tam giác EBC.