Giải thích các bước giải:

    Ý tưởng và các bước tính xác suất để bạn An thắng cuộc được diễn giải hoàn toàn bằng chữ bình thường như sau:Trước hết, chúng ta tính xác suất đơn lẻ của từng bạn trong mỗi lần tung:
Xác suất bạn An tung được mặt ngửa là một phần ba. Suy ra xác suất bạn An tung được mặt sấp là một trừ một phần ba, bằng hai phần ba.
Xác suất bạn Bình tung được mặt ngửa là hai phần năm. Suy ra xác suất bạn Bình tung được mặt sấp là một trừ hai phần năm, bằng ba phần năm.Tiếp theo, chúng ta xét một lượt chơi gồm một lần tung của bạn An và một lần tung của bạn Bình. Để trò chơi tiếp tục kéo dài sang lượt sau thì cả bạn An và bạn Bình đều phải tung được mặt sấp trong lượt hiện tại.
Xác suất để cả hai bạn cùng tung được mặt sấp trong một lượt chơi là: hai phần ba nhân với ba phần năm, kết quả bằng hai phần năm.Vì hai bạn lần lượt tung và bạn An luôn luôn là người tung trước, nên bạn An có thể thắng ở các trường hợp sau:
Trường hợp 1: Bạn An thắng ngay ở lượt tung thứ nhất của mình. Xác suất là một phần ba.
Trường hợp 2: Lượt thứ nhất cả hai bạn đều tung được mặt sấp, và bạn An tung được mặt ngửa ở lượt thứ hai. Xác suất là hai phần năm nhân với một phần ba.
Trường hợp 3: Cả hai lượt đầu hai bạn đều tung được mặt sấp, và bạn An tung được mặt ngửa ở lượt thứ ba. Xác suất là hai phần năm bình phương nhân với một phần ba.Tương tự như vậy, vì mỗi bạn tung không quá mười lần, nên bạn An có thể thắng tối đa ở lượt thứ mười. Xác suất bạn An thắng ở lượt thứ mười là hai phần năm mũ chín nhân với một phần ba.Tổng xác suất để bạn An thắng cuộc sẽ là tổng xác suất của mười trường hợp trên:
Xác suất bằng một phần ba nhân với mở ngoặc: một cộng hai phần năm cộng hai phần năm bình phương cộng chấm chấm chấm cộng hai phần năm mũ chín đóng ngoặc.Biểu thức trong dấu ngoặc đơn chính là tổng của một cấp số nhân lùi có mười số hạng, với số hạng đầu tiên bằng một và công bội bằng hai phần năm.
Áp dụng công thức tính tổng cấp số nhân, ta thu gọn được tổng xác suất An thắng là: năm phần chín nhân với mở ngoặc một trừ hai phần năm mũ mười đóng ngoặc.Tính toán kết quả phân số cuối cùng, ta được xác suất để bạn An thắng cuộc là 3254867 phần 5859375 (kết quả này xấp xỉ bằng 0,5555).