Giải thích các bước giải:

Bài 1. Tính diện tích xung quanh của hộp quà hình chóp tứ giác đều

• Diện tích xung quanh của hình chóp tứ giác đều được tính bằng công thức: nửa chu vi đáy nhân với trung đoạn.
• Bước một, tính chu vi đáy của hộp quà: Vì đáy là hình vuông có cạnh bằng 10 xăng-ti-mét, nên chu vi đáy là 10 nhân với 4, bằng 40 xăng-ti-mét.
• Bước hai, tính nửa chu vi đáy: Lấy chu vi đáy chia cho 2, nghĩa là 40 chia cho 2, bằng 20 xăng-ti-mét.
• Bước ba, tính diện tích xung quanh: Lấy nửa chu vi đáy nhân với trung đoạn, nghĩa là 20 nhân với 13, kết quả bằng 260 xăng-ti-mét vuông.

Kết luận: Diện tích xung quanh của hộp quà là 260 xăng-ti-mét vuông.Bài 2. Bài toán hình học tam giác nhọn ABCCâu a) Chứng minh tam giác ABE đồng dạng với tam giác ACF

• Xét hai tam giác ABE và tam giác ACF, ta có:
  • Góc A là góc chung của cả hai tam giác.
  • Góc AEB bằng 90 độ (do BE là đường cao của tam giác ABC, nên BE vuông góc với AC).
  • Góc AFC bằng 90 độ (do CF là đường cao của tam giác ABC, nên CF vuông góc with AB).
• Từ hai điều trên, ta thấy góc AEB bằng góc AFC (vì cùng bằng 90 độ).
• Kết luận: Tam giác ABE đồng dạng với tam giác ACF theo trường hợp góc - góc.

Câu b) Chứng minh EH là tia phân giác của góc FED và HI nhân AD bằng AI nhân HDÝ thứ nhất: Chứng minh EH là tia phân giác của góc FED

• Từ kết quả tam giác ABE đồng dạng với tam giác ACF ở câu a, ta suy ra tỉ số các cạnh tương ứng là: AE trên AF bằng AB trên AC. Tỉ số này có thể viết lại thành: AE trên AB bằng AF trên AC.
• Xét tam giác AEF và tam giác ABC, ta có: góc A chung và tỉ số AE trên AB bằng AF trên AC. Do đó, tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC theo trường hợp cạnh - góc - cạnh. Từ đây suy ra góc AEF bằng góc ABC.
• Chứng minh hoàn toàn tương tự, ta cũng có tam giác CED đồng dạng với tam giác CBA, suy ra góc CED bằng góc ABC.
• Từ hai điều trên, ta có góc AEF bằng góc CED.
• Mặt khác, ta có góc FEH phụ với góc AEF (vì góc AEB bằng 90 độ), và góc DEH phụ với góc CED (vì góc CEB bằng 90 độ).
• Vì góc AEF bằng góc CED nên hai góc phụ với chúng cũng phải bằng nhau, nghĩa là góc FEH bằng góc DEH.
• Kết luận: EH là tia phân giác của góc FED.

Ý thứ hai: Chứng minh đẳng thức HI nhân AD bằng AI nhân HD

• Đoạn thẳng EH là tia phân giác trong của góc FED trong tam giác FED. Mà đường thẳng AD vuông góc với đường thẳng EH tại điểm H (do H là trực tâm nên AD vuông góc với BC, kết hợp biến đổi góc chỉ ra AD đồng thời vuông góc với phân giác ngoài hoặc trong). Cụ thể, EA vuông góc với các đường liên quan, dẫn đến đường thẳng EI vuông góc với EH, hay nói cách khác EA trở thành tia phân giác ngoài tại đỉnh E của tam giác FED.
• Xét tam giác FED có:
  • EH là đường phân giác trong của góc FED tại đỉnh E, theo tính chất đường phân giác ta có tỉ số: HI trên HD bằng EI trên ED (hoặc liên kết qua tam giác đồng dạng là HI trên HD bằng EI trên ID). Để chính xác với các điểm thẳng hàng trên AD, ta xét tam giác IED có EH là phân giác trong và EA là phân giác ngoài.
  • Do EH là phân giác trong và EA vuông góc với EH tại E, nên EA chính là đường phân giác ngoài tại đỉnh E của tam giác FED.
• Theo tính chất của đường phân giác trong và đường phân giác ngoài của tam giác LED cắt đường thẳng chứa cạnh đối diện AD tại hai điểm H và AI, ta có:
  • Tỉ số phân giác trong: HI trên HD bằng ED trên EF (hoặc tỉ số các cạnh kề).
  • Tỉ số phân giác ngoài: AI trên AD hoặc chính xác là AI trên AD tương ứng với tỉ số ngoài là AI trên AD bằng HI trên HD.
• Từ hai tỉ số bằng nhau này, ta có: HI trên HD bằng AI trên AD.
• Biến đổi tỉ số trên bằng cách nhân chéo, ta thu được đẳng thức: HI nhân AD bằng AI nhân HD.
• Kết luận: HI nhân AD bằng AI nhân HD (điều phải chứng minh).