Đáp án+Giải thích các bước giải:

Ta xét: `x^2/(z(z^2 + x^2)) = (x^2 + z^2 - z^2)/(z(x^2 + z^2)) = 1/z - z^2/(z(x^2 + z^2)) = 1/z - z/(z^2 + x^2)`

Áp dụng bđt cauchy cho `2` số thực dương ta có:

`x^2 + z^2 >= 2\sqrt{x^2 . z^2} = 2xz`

`-> -z/(x^2 + z^2) >= -1/(2z)`

`-> x^2/(z(z^2 + x^2)) >= 1/z - 1/(2x)`

Tương tự: `y^2/(x(x^2 + y^2)) >= 1/x - 1/(2y)`

`z^2/(y(y^2 + z^2)) = 1/y - 1/(2z)`

`-> P >= 1/z - 1/(2x) + 1/x - 1/(2y) + 1/y - 1/(2z)`

`-> P >= 1/(2x) + 1/(2y) + 1/(2z)`

`-> P >= 1/2 . (1/x + 1/y + 1/z)`

`-> P >= 1/2 . (xy + yz + xz)/(xyz)`

`-> P >= 1/2 . (3xyz)/(xyz) = 3/2`

Vậy `P_min = 3/2` dấu "`=`" xảy ra khi `x = y = z = 1`