Giải thích các bước giải:

a.Vì $AB, AC$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to AB\perp OB, AC\perp OC$

$\to \widehat{ABO}=\widehat{ACO}=90^o$

$\to ABOC$ nội tiếp đường tròn đường kính $AO$

b.Vì $AB, AC$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to AO$ là trung trực $BC$

$\to BC\perp AO$

Xét $\Delta ABE,\Delta BEO$ có:

$\widehat{BEA}=\widehat{BEO}(=90^o)$

$\widehat{EBA}=90^o-\widehat{EBO}=\widehat{EOB}$

$\to \Delta EBA\sim\Delta EOB(g.g)$

$\to \dfrac{BA}{OB}=\dfrac{AE}{BE}$

$\to BA.BE=AE.OB$

c.Vì $OI\perp DF$

$\to \widehat{OID}=\widehat{OBD}=90^o\to OIBD$ nội tiếp đường tròn đường kính $OD$

     $\widehat{OIF}=\widehat{OCF}=90^o\to OIFC$ nội tiếp đường tròn đường kính $FO$

$\to \widehat{ODI}=\widehat{OBI}=\widehat{OBC}=\widehat{OCB}=\widehat{OCI}=\widehat{OFI}$

$\to \Delta ODF$ cân tại $O$

Mà $OI\perp DF$

$\to I$ là trung điểm $DF$

$\to ID=IF$

Để chứng minh $F$ là trung điểm $AC$

$\to EF$ là đường trung bình $\Delta ABC$

$\to EF//AB$

$\to EF//BD$

$\to \dfrac{IE}{IB}=\dfrac{IF}{ID}=1$

$\to IE=IB$

$\to I$ là trung điểm $BE$