Đặt $a = 2x-y$ và $b = y-x$ với $a, b \in \mathbb{Z}$.

Ta có: $a+b = x$ và $a+2b = y$.

Ta có: $15x - 7y + 7 = 15(a+b) - 7(a+2b) + 7 = 8a + b + 7$.

Phương trình đã cho trở thành:

$2ab^2 = 8a + b + 7$

$\Leftrightarrow 2a(b^2 - 4) = b + 7$

- Xét $b^2 - 4 = 0 \Leftrightarrow b = \pm 2$:

Với $b = 2$, phương trình thành $0 = 9$ (vô lý).

Với $b = -2$, phương trình thành $0 = 5$ (vô lý).

- Xét $b^2 - 4 \neq 0$, ta có:

$2a = \frac{b+7}{b^2-4}$

Vì $a \in \mathbb{Z}$ nên $2a \in \mathbb{Z}$, suy ra: $b+7 \ \vdots \ b^2-4$

$\Rightarrow (b+7)(b-7) \ \vdots \ b^2-4$

$\Rightarrow b^2 - 49 \ \vdots \ b^2 - 4$

$\Rightarrow (b^2 - 4) - 45 \ \vdots \ b^2 - 4$

$\Rightarrow 45 \ \vdots \ b^2 - 4$

Do $b \in \mathbb{Z} \Rightarrow b^2 - 4 \ge -4$.

Đồng thời $b^2 = (b^2-4) + 4$ phải là một số chính phương.

Xét các ước của $45$ lớn hơn hoặc bằng $-4$, ta có các trường hợp thỏa mãn $b^2$ là số chính phương:

- $b^2 - 4 = -3 \Rightarrow b^2 = 1 \Rightarrow b \in \{1; -1\}$.

- $b^2 - 4 = 5 \Rightarrow b^2 = 9 \Rightarrow b \in \{3; -3\}$.

- $b^2 - 4 = 45 \Rightarrow b^2 = 49 \Rightarrow b \in \{7; -7\}$.

Thế lần lượt $b$ vào biểu thức $2a = \frac{b+7}{b^2-4}$:

- $b = 1 \Rightarrow 2a = \frac{8}{-3}$ (loại).

- $b = -1 \Rightarrow 2a = \frac{6}{-3} = -2 \Rightarrow a = -1$.

Suy ra $x = a+b = -2$; $y = a+2b = -3$.

- $b = 3 \Rightarrow 2a = \frac{10}{5} = 2 \Rightarrow a = 1$.

Suy ra $x = a+b = 4$; $y = a+2b = 7$.

- $b = -3 \Rightarrow 2a = \frac{4}{5}$ (loại).

- $b = 7 \Rightarrow 2a = \frac{14}{45}$ (loại).

- $b = -7 \Rightarrow 2a = 0 \Rightarrow a = 0$.

Suy ra $x = a+b = -7$; $y = a+2b = -14$.

Thử lại các cặp $(x; y)$ tìm được vào phương trình ban đầu đều thỏa mãn.

Vậy tập nghiệm của phương trình là $(x; y) \in \{(-2; -3); (4; 7); (-7; -14)\}$.