Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 a) Rút gọn biểu thức $A$ và tìm $a$ để $|A| + A = 0$

Điều kiện xác định đề bài đã cho: $a \geq 0; a \neq 4; a \neq 9$.

Bước 1: Rút gọn từng ngoặc của biểu thức $A$

• Xét ngoặc thứ nhất:

  $$1 - \frac{a - 3\sqrt{a}}{a - 9} = 1 - \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a} - 3)}{(\sqrt{a} - 3)(\sqrt{a} + 3)}$$$$= 1 - \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} + 3} = \frac{\sqrt{a} + 3 - \sqrt{a}}{\sqrt{a} + 3} = \frac{3}{\sqrt{a} + 3}$$

• Xét ngoặc thứ hai:

  Ta có mẫu thức chung là: $(\sqrt{a} + 3)(\sqrt{a} - 2) = a + \sqrt{a} - 6$.

  Đổi dấu phân thức thứ hai để xuất hiện mẫu chung: $\frac{\sqrt{a} - 3}{2 - \sqrt{a}} = -\frac{\sqrt{a} - 3}{\sqrt{a} - 2}$.

  Quy đồng mẫu thức:

  $$\frac{\sqrt{a} - 2}{\sqrt{a} + 3} - \frac{\sqrt{a} - 3}{\sqrt{a} - 2} - \frac{9 - a}{(\sqrt{a} + 3)(\sqrt{a} - 2)}$$$$= \frac{(\sqrt{a} - 2)^2 - (\sqrt{a} - 3)(\sqrt{a} + 3) - (9 - a)}{(\sqrt{a} + 3)(\sqrt{a} - 2)}$$$$= \frac{(a - 4\sqrt{a} + 4) - (a - 9) - 9 + a}{(\sqrt{a} + 3)(\sqrt{a} - 2)}$$$$= \frac{a - 4\sqrt{a} + 4 - a + 9 - 9 + a}{(\sqrt{a} + 3)(\sqrt{a} - 2)}$$$$= \frac{a - 4\sqrt{a} + 4}{\sqrt{a} + 3)(\sqrt{a} - 2)} = \frac{(\sqrt{a} - 2)^2}{(\sqrt{a} + 3)(\sqrt{a} - 2)} = \frac{\sqrt{a} - 2}{\sqrt{a} + 3}$$

Bước 2: Tính biểu thức $A$$$A = \frac{3}{\sqrt{a} + 3} : \frac{\sqrt{a} - 2}{\sqrt{a} + 3} = \frac{3}{\sqrt{a} + 3} \cdot \frac{\sqrt{a} + 3}{\sqrt{a} - 2} = \frac{3}{\sqrt{a} - 2}$$Bước 3: Tìm $a$ để $|A| + A = 0$

Ta có:

$$|A| + A = 0 \Leftrightarrow |A| = -A$$

Điều này xảy ra khi và chỉ khi $A \leq 0$.

Do đó:

$$\frac{3}{\sqrt{a} - 2} \leq 0$$

Vì tử thức $3 > 0$ nên để phân thức nhỏ hơn hoặc bằng 0 thì mẫu thức phải âm:

$$\sqrt{a} - 2 < 0 \Leftrightarrow \sqrt{a} < 2 \Leftrightarrow a < 4$$

Kết hợp với điều kiện xác định ban đầu ($a \geq 0; a \neq 4; a \neq 9$), ta được:

$$0 \leq a < 4$$

Vậy với $0 \leq a < 4$ thì $|A| + A = 0$.

b) Hàm số $y = x^2$ (P) và đường thẳng (d)1. Vẽ đồ thị hàm số $y = x^2$ (P)

• Bảng giá trị:

x−2−1012$y = x^2$$4$$1$$0$$1$$4$

• Đồ thị: Đồ thị là một đường Parabol có đỉnh tại gốc tọa độ $O(0;0)$, quay bề lõm lên trên và đối xứng qua trục tung $Oy$. (Bạn dùng thước vẽ parabol nối các tọa độ $(-2;4), (-1;1), (0;0), (1;1), (2;4)$ vào vở nhé).

2. Viết phương trình đường thẳng (d)

• Gọi điểm nằm trên Parabol $(P)$ có hoành độ $x = 2$ là điểm $M$.

  Thay $x = 2$ vào phương trình $(P): y = x^2$, ta được: $y = 2^2 = 4 \Rightarrow M(2; 4)$.

• Đường thẳng $(d)$ có hệ số góc $k$ nên phương trình tổng quát có dạng:

  $$y = kx + b$$

• Vì $(d)$ đi qua điểm $M(2; 4)$, ta thay tọa độ điểm $M$ vào phương trình đường thẳng:

  $$4 = k \cdot 2 + b \Rightarrow b = 4 - 2k$$

• Vậy phương trình đường thẳng $(d)$ là:

  $$y = kx + 4 - 2k$$

3. Tìm $k$ để $(d)$ tiếp xúc $(P)$

• Phương trình hoành độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$ là:

  $$x^2 = kx + 4 - 2k \Leftrightarrow x^2 - kx + 2k - 4 = 0 \quad (*)$$

• Để đường thẳng $(d)$ tiếp xúc với Parabol $(P)$ thì phương trình $(*)$ phải có nghiệm kép (tức là $\Delta = 0$).

  $$\Delta = (-k)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2k - 4) = k^2 - 8k + 16$$$$\Delta = (k - 4)^2$$

• Cho $\Delta = 0$:

  $$(k - 4)^2 = 0 \Leftrightarrow k - 4 = 0 \Leftrightarrow k = 4$$