Giải thích các bước giải:

$\begin{aligned}
& \text{Xét hệ phương trình: }
\begin{cases}
\sqrt{y+91} = \sqrt{x-2} + y \quad (1) \\
2y^3 - 2x^2y^4 - 2y^2 + (1+2x^2)y - x^2 = 0 \quad (2)
\end{cases} \\
& \text{Điều kiện xác định: } x \ge 2 \text{ và } y \ge -91. \\
& \text{Xét phương trình } (2)\text{, ta biến đổi và nhóm các hạng tử chứa } x^2: \\
& -2x^2y^4 + 2x^2y - x^2 + 2y^3 - 2y^2 + y = 0 \\
& \Leftrightarrow -x^2(2y^4 - 2y + 1) + y(2y^2 - 2y + 1) = 0 \\
& \Leftrightarrow x^2(2y^4 - 2y + 1) = y(2y^2 - 2y + 1) \quad (*) \\
& \text{Ta chứng minh } 2y^4 - 2y + 1 > 0 \text{ với mọi } y \in \mathbb{R}\text{ bằng cách thêm bớt:} \\
& 2y^4 - 2y + 1 = 2\left(y^4 - y + \frac{1}{2}\right) = 2\left(y^4 - y^2 + \frac{1}{4} + y^2 - y + \frac{1}{4}\right) \\
& \phantom{2y^4 - 2y + 1} = 2\left(y^2 - \frac{1}{2}\right)^2 + 2\left(y - \frac{1}{2}\right)^2. \\
& \text{Vì hai biểu thức } y^2 = \frac{1}{2} \text{ và } y = \frac{1}{2} \text{ không thể đồng thời xảy ra nên tổng hai bình phương luôn dương.} \\
& \text{Do đó, } 2y^4 - 2y + 1 > 0. \text{ Từ } (*)\text{, ta suy ra: } \\
& x^2 = \frac{y(2y^2 - 2y + 1)}{2y^4 - 2y + 1} = \frac{2y^3 - 2y^2 + y}{2y^4 - 2y + 1}. \\
& \text{Mặt khác, do điều kiện } x \ge 2 \text{ nên } x^2 \ge 4\text{, dẫn tới:} \\
& \frac{2y^3 - 2y^2 + y}{2y^4 - 2y + 1} \ge 4 \Leftrightarrow 2y^3 - 2y^2 + y \ge 8y^4 - 8y + 4 \\
& \Leftrightarrow 8y^4 - 2y^3 + 2y^2 - 9y + 4 \le 0 \quad (**) \\
& \text{Ta sẽ chứng minh } (**) \text{ chỉ có thể xảy ra khi } 0 < y < 1. \\
& \bullet \text{ Nếu } y \le 0\text{, ta có } 8y^4 \ge 0, -2y^3 \ge 0, 2y^2 \ge 0, -9y \ge 0 \\
& \Rightarrow 8y^4 - 2y^3 + 2y^2 - 9y + 4 \ge 4 > 0 \text{ (mâu thuẫn với } (**)\text{). Vậy } y > 0. \\
& \bullet \text{ Nếu } y \ge 1\text{, ta phân tích đa thức thành nhân tử:} \\
& 8y^4 - 2y^3 + 2y^2 - 9y + 4 = (y - 1)(8y^3 + 6y^2 + 8y - 1) + 3 \\
& \text{Do } y \ge 1 \text{ nên } y - 1 \ge 0 \text{ và } 8y^3 + 6y^2 + 8y - 1 \ge 8 + 6 + 8 - 1 = 21 > 0. \\
& \Rightarrow (y - 1)(8y^3 + 6y^2 + 8y - 1) + 3 \ge 3 > 0 \text{ (mâu thuẫn với } (**)\text{). Vậy } y < 1. \\
& \text{Tóm lại ta có } 0 < y < 1. \text{ Bây giờ, ta đánh giá chặn trên của } x^2 \text{ trong khoảng này:} \\
& \text{Xét tử số: } 2y^3 - 2y^2 + y = y(2y^2 - 2y + 1) = y\left[2\left(y - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{2}\right]. \\
& \text{Vì } 0 < y < 1 \Rightarrow -\frac{1}{2} < y - \frac{1}{2} < \frac{1}{2} \Rightarrow \left(y - \frac{1}{2}\right)^2 < \frac{1}{4} \Rightarrow 2\left(y - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{2} < 2\left(\frac{1}{4}\right) + \frac{1}{2} = 1. \\
& \text{Kết hợp với } y < 1 \Rightarrow \text{Tử số } < 1 \cdot 1 = 1. \\
& \text{Xét mẫu số: Ta sẽ chứng minh } 2y^4 - 2y + 1 > \frac{1}{32} \Leftrightarrow 64y^4 - 64y + 31 > 0. \\
& \text{Thật vậy, ta tách biểu thức: } 64y^4 - 64y + 31 = (64y^4 - 48y^2 + 9) + (48y^2 - 64y + 22) \\
& \phantom{\text{Thật vậy, ta tách biểu thức: } 64y^4 - 64y + 31} = (8y^2 - 3)^2 + 48\left(y^2 - \frac{4}{3}y + \frac{4}{9}\right) - \frac{64}{3} + 22 \\
& \phantom{\text{Thật vậy, ta tách biểu thức: } 64y^4 - 64y + 31} = (8y^2 - 3)^2 + 48\left(y - \frac{2}{3}\right)^2 + \frac{2}{3} \ge \frac{2}{3} > 0. \\
& \text{Vậy mẫu số } > \frac{1}{32}. \text{ Suy ra } x^2 = \frac{\text{Tử số}}{\text{Mẫu số}} < \frac{1}{1/32} = 32 \Rightarrow x < \sqrt{32} < 6. \\
& \text{Từ } 2 \le x < 6 \Rightarrow 0 \le x - 2 < 4 \Rightarrow \sqrt{x - 2} < 2. \\
& \text{Do } \sqrt{x - 2} < 2 \text{ và } y < 1 \text{ nên ta có đánh giá: } \sqrt{x - 2} + y < 2 + 1 = 3. \\
& \text{Tuy nhiên, thay vào phương trình } (1) \text{ với chú ý } y > 0\text{, ta lại có:} \\
& \sqrt{y + 91} > \sqrt{0 + 91} = \sqrt{91} > 9. \\
& \text{Từ đó suy ra } 9 < \sqrt{y + 91} = \sqrt{x - 2} + y < 3, \text{ điều này hoàn toàn vô lý (vì } 9 < 3 \text{ là sai).} \\
& \text{Kết luận: } \text{Hệ phương trình đã cho vô nghiệm.}
\end{aligned}$