Giải thích các bước giải:

$\begin{aligned}
&\text{Phép thử là An bốc ngẫu nhiên 1 thẻ từ hộp thứ nhất (6 thẻ) và Bình bốc 1 thẻ từ hộp thứ hai (4 thẻ).} \\
&\text{Số phần tử của không gian mẫu (số kết quả có thể xảy ra) là: } n(\Omega) = 6 \cdot 4 = 24. \\
&\text{Gọi biến cố } A \text{ là: "An thắng cuộc".} \\
&\text{Theo luật chơi, An thắng khi } \dfrac{a^b + 1}{b + 1} \text{ là một số nguyên, tức là } (a^b + 1) \text{ chia hết cho } (b + 1). \\
&\text{Do } b \in \{1; 2; 3; 4\} \text{, ta xét lần lượt } 4 \text{ trường hợp của } b: \\
\\
&\text{Trường hợp 1:} \, b = 1 \Rightarrow b + 1 = 2. \\
&\quad \text{Ta cần } (a^1 + 1) \text{ chia hết cho 2 } \Rightarrow (a + 1) \text{ là số chẵn } \Rightarrow a \text{ phải là số lẻ.} \\
&\quad \text{Vì } a \in \{1; 2; 3; 4; 5; 6\} \text{ nên } a \in \{1; 3; 5\}. \text{ (Có 3 kết quả thuận lợi)} \\
\\
&\text{Trường hợp 2:} \, b = 2 \Rightarrow b + 1 = 3. \\
&\quad \text{Ta cần } (a^2 + 1) \text{ chia hết cho 3.} \\
&\quad \text{Ta biết rằng bình phương của một số nguyên khi chia cho 3 chỉ có số dư là 0 hoặc 1.} \\
&\quad \text{Do đó, } a^2 + 1 \text{ khi chia cho 3 sẽ có số dư là 1 hoặc 2, không thể chia hết cho 3.} \\
&\quad \text{Không có giá trị nào của } a \text{ thỏa mãn. (Có 0 kết quả thuận lợi)} \\
\\
&\text{Trường hợp 3:} \, b = 3 \Rightarrow b + 1 = 4. \\
&\quad \text{Ta cần } (a^3 + 1) \text{ chia hết cho 4. Lần lượt thử các giá trị của } a \text{ ta được:} \\
&\quad \quad a=1 \Rightarrow 1^3+1=2 \text{ (không chia hết cho 4)} \\
&\quad \quad a=2 \Rightarrow 2^3+1=9 \text{ (không chia hết cho 4)} \\
&\quad \quad a=3 \Rightarrow 3^3+1=28 \text{ (chia hết cho 4)} \Rightarrow \text{nhận } a=3 \\
&\quad \quad a=4 \Rightarrow 4^3+1=65 \text{ (không chia hết cho 4)} \\
&\quad \quad a=5 \Rightarrow 5^3+1=126 \text{ (không chia hết cho 4)} \\
&\quad \quad a=6 \Rightarrow 6^3+1=217 \text{ (không chia hết cho 4)} \\
&\quad \text{Vậy có duy nhất } a = 3 \text{ thỏa mãn. (Có 1 kết quả thuận lợi)} \\
\\
&\text{Trường hợp 4:} \, b = 4 \Rightarrow b + 1 = 5. \\
&\quad \text{Ta cần } (a^4 + 1) \text{ chia hết cho 5. Ta xét chữ số tận cùng của } a^4 \text{ với } a \in \{1; 2; 3; 4; 5; 6\}: \\
&\quad \quad a \in \{1; 2; 3; 4; 6\} \Rightarrow a^4 \text{ có chữ số tận cùng lần lượt là: } 1, 6, 1, 6, 6. \\
&\quad \quad \Rightarrow a^4 + 1 \text{ có chữ số tận cùng là 2 hoặc 7 (không chia hết cho 5).} \\
&\quad \quad a = 5 \Rightarrow a^4 + 1 = 626 \text{ (không chia hết cho 5).} \\
&\quad \text{Không có giá trị nào của } a \text{ thỏa mãn. (Có 0 kết quả thuận lợi)} \\
\\
&\text{Số kết quả thuận lợi cho biến cố } A \text{ là: } n(A) = 3 + 0 + 1 + 0 = 4. \\
&\text{Xác suất để An thắng cuộc là: } P(A) = \dfrac{n(A)}{n(\Omega)} = \dfrac{4}{24} = \dfrac{1}{6}.
\end{aligned}$