Giải thích các bước giải:

$\begin{aligned}
& \text{Gọi khối lượng của 11 quả cân lần lượt là } a_1, a_2, \dots, a_{11} \text{ (đơn vị: gam), với } a_i \in \mathbb{Z}^+. \\
& \text{Không mất tính tổng quát, giả sử các quả cân được sắp xếp theo thứ tự tăng dần khối lượng:} \\
& a_1 < a_2 < a_3 < \dots < a_{11}. \\[5pt]
& \text{Vì các quả cân có khối lượng nguyên dương và không có hai quả nào bằng nhau nên:} \\
& a_{i+1} - a_i \ge 1 \quad \forall i \in \{1, 2, \dots, 10\}. \\[10pt]
& \text{Theo giả thiết bài toán: "bên nào có nhiều quả cân hơn thì sẽ nặng hơn".} \\
& \text{Ta xét một trường hợp khắc nghiệt nhất: so sánh } 6 \text{ quả cân nhẹ nhất với } 5 \text{ quả cân nặng nhất.} \\
& \text{Gọi nhóm } A \text{ gồm 6 quả cân: } \{a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6\}. \\
& \text{Gọi nhóm } B \text{ gồm 5 quả cân: } \{a_7, a_8, a_9, a_{10}, a_{11}\}. \\
& \text{Vì nhóm } A \text{ có số lượng quả cân lớn hơn nhóm } B \text{ (6 > 5), nên tổng khối lượng của } A \text{ phải lớn hơn } B\text{:} \\
& a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 > a_7 + a_8 + a_9 + a_{10} + a_{11} \quad (1) \\[10pt]
& \text{Mặt khác, áp dụng tính chất } a_{i+1} \ge a_i + 1\text{, ta chặn trên cho tổng khối lượng nhóm } A\text{:} \\
& a_5 \le a_6 - 1 \\
& a_4 \le a_6 - 2 \\
& a_3 \le a_6 - 3 \\
& a_2 \le a_6 - 4 \\
& a_1 \le a_6 - 5 \\
& \text{Cộng vế theo vế, ta được:} \\
& a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 \le (a_6 - 5) + (a_6 - 4) + (a_6 - 3) + (a_6 - 2) + (a_6 - 1) + a_6 \\
& \Rightarrow a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 \le 6a_6 - 15 \quad (2) \\[10pt]
& \text{Tương tự, ta chặn dưới cho tổng khối lượng nhóm } B\text{:} \\
& a_8 \ge a_7 + 1 \\
& a_9 \ge a_7 + 2 \\
& a_{10} \ge a_7 + 3 \\
& a_{11} \ge a_7 + 4 \\
& \text{Cộng vế theo vế, ta được:} \\
& a_7 + a_8 + a_9 + a_{10} + a_{11} \ge a_7 + (a_7 + 1) + (a_7 + 2) + (a_7 + 3) + (a_7 + 4) \\
& \Rightarrow a_7 + a_8 + a_9 + a_{10} + a_{11} \ge 5a_7 + 10 \quad (3) \\[10pt]
& \text{Từ } (1), (2) \text{ và } (3)\text{, ta kết nối các bất đẳng thức lại với nhau:} \\
& 6a_6 - 15 \ge \sum_{i=1}^6 a_i > \sum_{i=7}^{11} a_i \ge 5a_7 + 10 \\
& \Rightarrow 6a_6 - 15 > 5a_7 + 10 \quad (4) \\[10pt]
& \text{Lại có } a_7 > a_6 \text{ và do cả hai đều là các số nguyên nên } a_7 \ge a_6 + 1. \\
& \text{Thay } a_7 \ge a_6 + 1 \text{ vào bất phương trình } (4)\text{, ta có:} \\
& 6a_6 - 15 > 5(a_6 + 1) + 10 \\
& \Leftrightarrow 6a_6 - 15 > 5a_6 + 15 \\
& \Leftrightarrow a_6 > 30. \\[5pt]
& \text{Do } a_6 \text{ là số nguyên dương nên } a_6 \ge 31. \\[10pt]
& \text{Từ giá trị của } a_6\text{, ta suy ra được giới hạn khối lượng của quả cân nặng nhất } (a_{11})\text{:} \\
& a_{11} \ge a_{10} + 1 \ge a_9 + 2 \ge a_8 + 3 \ge a_7 + 4 \ge a_6 + 5. \\
& \Rightarrow a_{11} \ge 31 + 5 = 36. \\[10pt]
& \text{Kết luận: } \\
& \text{Quả cân nặng nhất trong } 11 \text{ quả có khối lượng } a_{11} \ge 36 \text{ (gam).} \\
& \text{Do } 36 > 35\text{, nên chứng tỏ luôn có ít nhất một quả cân nặng hơn } 35 \text{ gam (Điều phải chứng minh).}
\end{aligned}$