Đáp án:

a) `\frac{AC}{EC} = \frac{BC}{AC}`

b) ${BC^2=AC^2+AB.AC}$

c) BC = 6, AC = 4, AB = 5

Giải thích các bước giải:

a) Vì ${AE}$ phân giác $\widehat{BAC}$ nên ${\widehat{BAE}=\widehat{EAC}=\frac{1}{2}\widehat{BAC}}$

⇔ ${\widehat{BAE}=\widehat{EAC}=\widehat{B}}$

Xét ${ΔABC}$ $\backsim$ ${ΔEAC}$ có:

$\widehat{C}$ chung

${\widehat{ABC}=\widehat{EAC}}$ ${(cmt)}$

⇒ ${ΔABC}$ $\backsim$ ${ΔEAC}$ ${(g-g).}$

⇒ `\frac{AC}{EC} = \frac{BC}{AC} (đpcm).`

b) Từ `\frac{AC}{EC} = \frac{BC}{AC} (đpcm).`

⇒ `\frac{EB}{EC} = \frac{AB}{AC}` ⇒ ${EC=\frac{AB.EC}{AC}}$

⇒ ${BC=\frac{AB.EC}{AC}+EC=EC(\frac{AB}{AC}+1)=EC(\frac{AB+AC}{AC})}$

⇒ ${EC=\frac{BC.AC}{AB+AC}.}$

⇒ ${AC^2=BC.\frac{BC.AC}{AB+AC}}$ ⇒ ${AC=\frac{BC^2}{AB+AC}.}$

⇒ ${BC^2=AC(AB+AC)=AC^2+AB.AC}$ ${(đpcm).}$

c) Gọi độ dài 3 cạnh a, b, c tương ứng BC, AC, AB. Theo ${BC^2=AC^2+AB.AC}$ ${(đpcm).}$

⇒ ${a^2=b^2+bc=b(b+c)}$

Vì a, b, c là các số tự nhiên nên:

TH1:

TH1a: ${b<a<c}$                        TH1b: ${c<a<b}$ (Thử 2,3,4; 3,4,5; 4,5,6...)

Xét bộ số (4, 5, 6) có:

b = 4, c = 5 ⇒ ${a^2=4(4+5)=36}$ ⇒ a = 6. (tm 3 số 4, 5, 6)

b = 4, c = 6 ⇒ ${a^2=4(4+6)=40}$ (bỏ)

b = 5, c = 4 ⇒ ${a^2=5(5+4)=45}$ (bỏ)

Với a = 6, b = 4, c = 5 (BC = 6, AC = 4, AB = 5) (tmbđt Δ)

⇒ BC = 6, AC = 4, AB = 5.