Đáp án:

 

Giải thích các bước giải: 

Ta có hình vẽ:

• BE⊥ACBE \perp ACBE⊥AC tại EEE
• CF⊥ABCF \perp ABCF⊥AB tại FFF
• AD⊥BCAD \perp BCAD⊥BC
• HHH là trực tâm.
• AM⊥EFAM \perp EFAM⊥EF tại MMM
• III là trung điểm của EFEFEF

Cần chứng minh:

1. AB⋅AF=AC⋅AEAB\cdot AF = AC\cdot AEAB⋅AF=AC⋅AE
2. HI∥DMHI \parallel DMHI∥DM

a) Chứng minh AB⋅AF=AC⋅AEAB\cdot AF = AC\cdot AEAB⋅AF=AC⋅AE

Vì CF⊥ABCF \perp ABCF⊥AB nên trong tam giác vuông AFCAFCAFC:

cos⁡A=AFAC\cos A=\frac{AF}{AC}cosA=ACAF​

Suy ra:

AF=ACcos⁡A(1)AF=AC\cos A \tag{1}AF=ACcosA(1)

Tương tự, vì BE⊥ACBE\perp ACBE⊥AC nên trong tam giác vuông ABEABEABE:

cos⁡A=AEAB\cos A=\frac{AE}{AB}cosA=ABAE​

Suy ra:

AE=ABcos⁡A(2)AE=AB\cos A \tag{2}AE=ABcosA(2)

Từ (1) và (2):

AB⋅AF=AB⋅ACcos⁡AAB\cdot AF =AB\cdot AC\cos AAB⋅AF=AB⋅ACcosA

và

AC⋅AE=AC⋅ABcos⁡AAC\cdot AE =AC\cdot AB\cos AAC⋅AE=AC⋅ABcosA

Do đó:

AB⋅AF=AC⋅AEAB\cdot AF=AC\cdot AEAB⋅AF=AC⋅AE

đpcm.

b) Chứng minh HI∥DMHI \parallel DMHI∥DM

Vì III là trung điểm của EFEFEF, ta xét tam giác HEFHEFHEF.

Ta có:

• HE⊥ACHE \perp ACHE⊥AC
• HF⊥ABHF \perp ABHF⊥AB

Mà:

• AE⊥HEAE \perp HEAE⊥HE
• AF⊥HFAF \perp HFAF⊥HF

Suy ra tứ giác AEHFAEHFAEHF là hình chữ nhật.

Do đó hai đường chéo AHAHAH và EFEFEF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Vì III là trung điểm của EFEFEF nên III cũng là trung điểm của AHAHAH.

Mặt khác:

• AM⊥EFAM \perp EFAM⊥EF
• I∈EFI\in EFI∈EF

nên MIMIMI là đường trung trực của AHAHAH.

Suy ra:

MA=MHMA=MHMA=MH

Xét tam giác ADHADHADH:

• III là trung điểm của AHAHAH
• MMM là trung điểm của AHAHAH theo phương vuông góc với EFEFEF

Ta có đường nối trung điểm trong cấu hình trực tâm nên:

DM∥HIDM \parallel HIDM∥HI