Đặt MN `= x`

       AM `= y`

Diện tích mạ kim loại quý của hộp là:

`S_{xq} + S_{đáy} = 4xy + x^{2} ` `(1)`

Thể tích của hộp là:

`V= x^{2}.y = 4` `(2)`

`to` `y=\frac{4}{x^{2}}`

Thay `y=\frac{4}{x^{2}}` vào `(1)` được:

`4.x.\frac{4}{x^{2}} +x^{2}`

`=\frac{16}{x} + x^{2}`

`=\frac{8}{x} + \frac{8}{x} + x^{2}`

Ta có: 

`\frac{8}{x} + \frac{8}{x} + x^{2}` $\geq$ $\sqrt[3]{\frac{8}{x}.\frac{8}{x}.x^{2}}$

`\frac{8}{x} + \frac{8}{x} + x^{2}` $\geq$ $\sqrt[3]{64}$ 

`\frac{8}{x} + \frac{8}{x} + x^{2}` $\geq$ `4`

Dấu `=` xảy ra khi `\frac{8}{x} = \frac{8}{x} = x^{2}`

hay `\frac{8}{x} = x^{2}`

`8 = x^{3}`

`x=2`

Thay `x=2` vào `(2)` được:

$2^{2}.y=4$

`y=1`

Vậy...