Đáp án: P=$\frac{-1}{5}$ = -0.2 

Giải thích các bước giải:Theo hệ thức Vi-ét, ta có: \(x_1 + x_2 = 4\); \(x_1x_2 = 2\)Vì \(x_1, x_2\) là nghiệm của phương trình nên:

\(x_1^2 - 4x_1 + 2 = 0 \Rightarrow x_1^2 = 4x_1 - 2\)

\(x_2^2 - 4x_2 + 2 = 0 \Rightarrow x_2^2 = 4x_2 - 2\)

Ta có : 
\(P=\frac{\sqrt{x_{1}^{3}-14x_{1}+10}-x_{2}}{x_{1}^{2}+4x_{2}-4}\)

Biến đổi tử thức (phần trong căn bậc 2): 

\(x_1^3 - 14x_1 + 10 = x_1(x_1^2) - 14x_1 + 10\)

Thay \(x_1^2 = 4x_1 - 2\) vào:

\(= x_1(4x_1 - 2) - 14x_1 + 10\)

\(= 4x_1^2 - 2x_1 - 14x_1 + 10 = 4x_1^2 - 16x_1 + 10\)

Tiếp tục thay \(x_1^2 = 4x_1 - 2\):

\(= 4(4x_1 - 2) - 16x_1 + 10 = 16x_1 - 8 - 16x_1 + 10 = 2\)
Vậy tử thức trở thành: \(\sqrt{2} - x_2\)

Biến đổi mẫu thức: Thay \(x_1^2 = 4x_1 - 2\) vào mẫu:

\(x_1^2 + 4x_2 - 4 = (4x_1 - 2) + 4x_2 - 4 = 4(x_1 + x_2) - 6\)

Thay \(x_1 + x_2 = 4\):
\(= 4(4) - 6 = 10\)

Do đó:  $P = \frac{\sqrt{2} - x_2}{10}$

Để triệt tiêu $x_2$, ta sử dụng một hằng đẳng thức quen thuộc từ Vi-ét:

$$(x_2 - x_1)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2$$ $$(x_2 - x_1)^2 = 4^2 - 4(2) = 16 - 8 = 8$$ Vì $x_1 < x_2 \implies x_2 - x_1 = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.

Bây giờ ta có hệ thức: \(\left[ \begin{array}{l}x_2 + x_1 = 4\\x_2 - x_1 = 2\sqrt{2}\end{array} \right.\) 

Cộng hai vế của (1) và (2):

$2x_2 = 4 + 2\sqrt{2} \implies x_2 = 2 + \sqrt{2}$. Thay giá trị của $x_2$ vừa tìm được từ hệ thức Vi-ét vào biểu thức $P$:

$P = \frac{\sqrt{2} - (2 + \sqrt{2})}{10} = \frac{\sqrt{2} - 2 - \sqrt{2}}{10} = \frac{-2}{10} = -\frac{1}{5}$ = -0.2