a) Chứng minh tứ giác BEMI nội tiếp

• Vì AB là đường kính của đường tròn (O) ⇒ ∠AEB = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⇒ ∠BEM = 90°.

• Theo giả thiết: CD ⊥ AB tại I ⇒ ∠BIM = 90°.

• Xét tứ giác BEMI có: ∠BEM + ∠BIM = 90° + 90° = 180°.

⇒ Tứ giác BEMI nội tiếp (đpcm).

b) Chứng minh các hệ thức

1. Chứng minh: AC² = AM · AE

• Nối AC. Vì AB là đường kính ⇒ ∠ACB = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Lại có CD ⊥ AB tại I ⇒ ∠AIC = 90°.

• Xét ΔACM và ΔAEC:

◦ ∠CAM chung.

◦ ∠ACM = ∠AEC (cùng chắn cung AC của đường tròn (O)).

⇒ ΔACM ∽ ΔAEC (góc - góc).

⇒ AC/AE = AM/AC ⇒ AC² = AM · AE (đpcm).

2. Chứng minh: KC · MI = CM · CI

• Từ câu a), tứ giác BEMI nội tiếp ⇒ ∠KEC = ∠AIB = 90°.

• Xét ΔKCE và ΔICA:

◦ ∠KCE = ∠ICA (góc đối đỉnh).

◦ ∠KEC = ∠AIC = 90°.

⇒ ΔKCE ∽ ΔICA (góc - góc) ⇒ KC/CI = KE/AI.

• Lại có: ∠KMC = ∠IAC; ∠KCM = ∠ICA ⇒ ΔKCM ∽ ΔICA.

⇒ KC/CM = CI/MI ⇒ KC · MI = CM · CI (đpcm).

@linhdan837