Đáp án:

Giải thích các bước giải:Bài 4

Đề bài: Cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$. Lấy $E$ thuộc cạnh $AC$, kẻ $EH \perp BC$ ($H \in BC$). Tia $HE$ cắt $BA$ tại $I$.

a) Chứng minh $\Delta BAC \sim \Delta BHI$

• Xét hai tam giác $\Delta BAC$ và $\Delta BHI$, ta có:

  • $\widehat{BAC} = \widehat{BHI} = 90^\circ$ (vì $\Delta ABC$ vuông tại $A$ và $EH \perp BC$).

  • Góc $\widehat{B}$ (hay $\widehat{ABC}$) là góc chung.

• Do đó, $\Delta BAC \sim \Delta BHI$ (trường hợp góc - góc).

b) Chứng minh $\Delta BAH \sim \Delta BCI$

Từ kết quả của câu a, ta có $\Delta BAC \sim \Delta BHI$. Từ đây suy ra tỉ số đồng dạng giữa các cạnh tương ứng:

$$\frac{BA}{BH} = \frac{BC}{BI} \implies \frac{BA}{BC} = \frac{BH}{BI}$$

Xét hai tam giác $\Delta BAH$ và $\Delta BCI$:

• Ta có tỉ số cạnh: $\frac{BA}{BC} = \frac{BH}{BI}$ (chứng minh trên).

• Góc $\widehat{B}$ (hay $\widehat{ABH}$) là góc chung.

Do đó, $\Delta BAH \sim \Delta BCI$ (trường hợp cạnh - góc - cạnh).

c) Tính tỉ số diện tích tam giác $BAH$ và $BCI$

Vì $\Delta BAH \sim \Delta BCI$, tỉ số diện tích của hai tam giác này bằng bình phương tỉ số đồng dạng của chúng:

$$\frac{S_{BAH}}{S_{BCI}} = \left(\frac{BA}{BC}\right)^2$$

Vì $\Delta ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$, theo định lý Pythagore ta có:

$$BC^2 = AB^2 + AC^2 = 2AB^2 \implies \left(\frac{BA}{BC}\right)^2 = \frac{AB^2}{BC^2} = \frac{AB^2}{2AB^2} = \frac{1}{2}$$

Vậy tỉ số diện tích của tam giác $BAH$ và tam giác $BCI$ là:

$$\frac{S_{BAH}}{S_{BCI}} = \frac{1}{2}$$Bài 5: Giải phương trình

Mẹo để giải các phương trình dạng này là tìm cách cộng hoặc trừ thêm một hằng số vào mỗi phân thức sao cho tử thức mới của tất cả các phân thức trở nên giống nhau.

Phương trình 1:$$\frac{x+112}{2} + \frac{x-115}{215} + \frac{x-101}{67} + \frac{x+22}{39} = 0$$

Nhận xét:

• $112 - 2 = 110$

• $-115 - 215 = -330$ (không khớp)

• Hãy thử cộng/trừ với các số khác. Thử tìm một tử số chung dạng $x - k$ hoặc $x + k$.

• Nếu tử số là $x - 100$:

  • $\frac{x+112}{2} - 106 = \frac{x+112-212}{2} = \frac{x-100}{2}$

• Hãy thử một hằng số đơn giản hơn, ví dụ như đưa tử số về dạng $x + 116$:

  • $\frac{x+112}{2} + 2 = \frac{x+116}{2}$

  • $\frac{x-115}{215} + 1 = \frac{x-115+215}{215} = \frac{x+100}{215}$ (chưa khớp).

Cách tìm chuẩn xác: Nhìn vào các cặp số:

• $112 + 2 = 114$

• $-115 + 215 = 100$

• $-101 + 67 = -34$

• $22 + 39 = 61$

  Nhận thấy: $112 - 2 = 110$; $-115 - 215 = -330$; $-101 - 67 = -168$.

Hãy thử tạo tử số chung là $x + 114$:

• $\frac{x+112}{2} + 1 = \frac{x+114}{2}$

• $\frac{x-115}{215} + 1 = \frac{x+100}{215}$ (không được)

Hãy thử tạo tử số chung là $x - 100$:

• $\frac{x+112}{2} - 106 = \frac{x-100}{2}$

• $\frac{x-115}{215} + \frac{15}{215}$ -> không đẹp.

Phân tích kỹ lại các con số:

• $112 + 2 = 114$

• $-115 + 215 = 100$

• $-101 + 67\times 3 = -101 + 201 = 100$

• $22 + 39 = 61$

• Hãy kiểm tra lại:

  • $\frac{x+112}{2} - 6 = \frac{x+112-12}{2} = \frac{x+100}{2}$

  • $\frac{x-115}{215} + 1 = \frac{x-115+215}{215} = \frac{x+100}{215}$

  • $\frac{x-101}{67} + 3 = \frac{x-101+201}{67} = \frac{x+100}{67}$

  • $\frac{x+22}{39} + 2 = \frac{x+22+78}{39} = \frac{x+100}{39}$

Tổng các số thêm vào là: $-6 + 1 + 3 + 2 = 0$. Vừa vặn bằng 0!

Lời giải:

Phương trình tương đương với:

$$\left(\frac{x+112}{2} - 6\right) + \left(\frac{x-115}{215} + 1\right) + \left(\frac{x-101}{67} + 3\right) + \left(\frac{x+22}{39} + 2\right) = 0$$$$\Leftrightarrow \frac{x+100}{2} + \frac{x+100}{215} + \frac{x+100}{67} + \frac{x+100}{39} = 0$$$$\Leftrightarrow (x+100) \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{215} + \frac{1}{67} + \frac{1}{39} \right) = 0$$

Vì $\left( \frac{1}{2} + \frac{1}{215} + \frac{1}{67} + \frac{1}{39} \right) > 0$, nên ta có:

$$x + 100 = 0 \implies x = -100$$

Vậy nghiệm của phương trình là $x = -100$.

Phương trình 2:$$\frac{x+2014}{2} + \frac{x-11}{2015} + \frac{x-76}{975} + \frac{x+125}{717} = 0$$

Nhận xét để tìm tử số chung:

• $\frac{x+2014}{2} - 1 = \frac{x+2012}{2}$

• $\frac{x-11}{2015} + 1 = \frac{x+2004}{2015}$ (chưa khớp)

Thử đưa về tử số chung là $x + 2016$:

• $\frac{x+2014}{2} + 1 = \frac{x+2016}{2}$

• $\frac{x-11}{2015} + 1 = \frac{x+2004}{2015}$ (không phải)

Thử đưa về tử số chung là $x - 2004$:

• $\frac{x+2014}{2} - 2009 = ...$ (số quá to)

Hãy xem mối quan hệ tổng giữa tử và mẫu:

• $2014 + 2 = 2016$

• $-11 + 2015 = 2004$

• $-76 + 975 = 899$

Hãy thử với số $x + 2026$:

• $\frac{x+2014}{2} + 6 = \frac{x+2014+12}{2} = \frac{x+2026}{2}$

• $\frac{x-11}{2015} + 1 = \frac{x-11+2015}{2015} = \frac{x+2004}{2015}$

Hãy thử tìm một hằng số $C$ sao cho Tử + $k \times$ Mẫu = hằng số không đổi.

Nhận thấy:

• $2014 - 2 \times 2010 = 2014 - 4020 = -2006$

• $-11 - 2015 = -2026$

• $-76 - 2 \times 975 = -76 - 1950 = -2026$

• $125 - 3 \times 717 = 125 - 2151 = -2026$

Kiểm tra lại phân thức đầu tiên với $-2026$:

• $\frac{x+2014}{2} - 2020 = \frac{x+2014-4040}{2} = \frac{x-2026}{2}$

Và tổng các hệ số thêm vào: $-2020 - 1 - 2 - 3 = -2026 \neq 0$. Cách này không tách từ 0 được trực tiếp như bài trước mà ta phải biến đổi khéo léo hơn.

Cách biến đổi chuẩn:

Ta muốn tạo ra tử số chung là $x - 2026$:

• $\frac{x+2014}{2} - 2020 = \frac{x-2026}{2}$

• $\frac{x-11}{2015} - 1 = \frac{x-2026}{2015}$

• $\frac{x-76}{975} - 2 = \frac{x-76-1950}{975} = \frac{x-2026}{975}$

• $\frac{x+125}{717} - 3 = \frac{x+125-2151}{717} = \frac{x-2026}{717}$

Tổng các số trừ đi ở vế trái là: $-2020 - 1 - 2 - 3 = -2026$.

Do đó, phương trình ban đầu tương đương với:

$$\left(\frac{x+2014}{2} - 2020\right) + \left(\frac{x-11}{2015} - 1\right) + \left(\frac{x-76}{975} - 2\right) + \left(\frac{x+125}{717} - 3\right) = -2026$$$$\Leftrightarrow \frac{x-2026}{2} + \frac{x-2026}{2015} + \frac{x-2026}{975} + \frac{x-2026}{717} = -2026$$$$\Leftrightarrow (x-2026) \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{2015} + \frac{1}{975} + \frac{1}{717} \right) + 2026 = 0$$

Chuyển hằng số sang và nhóm lại:

$$(x-2026) \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{2015} + \frac{1}{975} + \frac{1}{717} \right) = -2026$$$$x - 2026 = \frac{-2026}{\frac{1}{2} + \frac{1}{2015} + \frac{1}{975} + \frac{1}{717}}$$$$x = 2026 - \frac{2026}{\frac{1}{2} + \frac{1}{2015} + \frac{1}{975} + \frac{1}{717}}$$