Giải thích các bước giải:

$\begin{aligned}
& \text{Xét phương trình đã cho: } p^3+p^2+p+1=qr \\
& \Leftrightarrow p^2(p+1) + (p+1) = qr \\
& \Leftrightarrow (p+1)(p^2+1) = qr \quad (1) \\
& \text{Vì } p \text{ là số nguyên tố nên } p \ge 2. \\
& \text{Suy ra } p+1 \ge 3 > 1 \text{ và } p^2+1 \ge 5 > 1. \\
& \text{Mặt khác, ta xét hiệu: } (p^2+1) - (p+1) = p^2-p = p(p-1). \\
& \text{Vì } p \ge 2 \text{ nên } p(p-1) > 0 \Rightarrow p^2+1 > p+1. \\
& \text{Do } q, r \text{ là các số nguyên tố nên tích } qr \text{ khi phân tích thành 2 nhân tử lớn hơn } 1 \\
& \text{chỉ có thể phân tích thành tích của chính } q \text{ và } r. \\
& \text{Do vế trái là tích của hai thừa số } (p+1) \text{ và } (p^2+1) \text{ đều lớn hơn } 1\text{, ta phải có một} \\
& \text{thừa số bằng } q \text{ và thừa số còn lại bằng } r. \\
& \text{Không mất tính tổng quát, do vai trò của } q, r \text{ bình đẳng, ta giả sử } q < r. \\
& \text{Kết hợp với điều kiện } p+1 < p^2+1\text{, ta có hệ điều kiện:} \\
& \begin{cases} p+1 = q \\ p^2+1 = r \end{cases} \\
& \text{Từ phương trình đầu, ta thấy } p \text{ và } q \text{ là hai số nguyên tố liên tiếp (vì } q - p = 1). \\
& \text{Trong tập hợp các số nguyên tố, chỉ có duy nhất cặp } (2; 3) \text{ là hai số liên tiếp.} \\
& \text{Do đó } p = 2 \text{ và } q = 3. \\
& \text{Thay } p = 2 \text{ vào phương trình thứ hai, ta tính được: } r = 2^2+1 = 5. \\
& \text{Thử lại thấy } r = 5 \text{ cũng là một số nguyên tố (thỏa mãn yêu cầu bài toán).} \\
& \text{Vậy các bộ số nguyên tố } (p; q; r) \text{ cần tìm là } (2; 3; 5) \text{ và } (2; 5; 3).
\end{aligned}$