Đáp án `+` Giải thích các bước giải:

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpki cho hai số:

`(a\cdot x+b\cdot y)^{2}\le (a^{2}+b^{2})(x^{2}+y^{2})`

Với `a=1, b=1` và `x=\sqrt{4+x}, y=\sqrt{6-x}`, ta có:

`P^{2}=(1\cdot \sqrt{4+x}+1\cdot \sqrt{6-x})^{2}\le (1^{2}+1^{2})(4+x+6-x)`

`P^{2}\le 2\cdot 10=20`

`P^{2}\le 2\cdot 10=20`

`\Rightarrow P\le \sqrt{20}=2\sqrt{5}`

Dấu "=" xảy ra khi:

`\sqrt{4+x} = \sqrt{6-x} \Leftrightarrow4+x = 6-x \Leftrightarrow 2x = 2 \Leftrightarrow x = 1\ (tm)`

Vậy `P_{max}=2\sqrt{5}` khi `x=1`

Vì `P > 0`, ta xét `P^{2}`:

`P^{2}=(4+x)+(6-x)+2\sqrt{(4+x)(6-x)}`

`P^{2}=10+2\sqrt{(4+x)(6-x)}`

Vì `\sqrt{(4+x)(6-x)} \ge 0` nên `P^2 \ge 10 \Rightarrow P \ge \sqrt{10}`.

Dấu "=" xảy ra khi:

`(4+x)(6-x)=0`

$\left[\begin{matrix} 4+x=0\\ 6-x=0\end{matrix}\right.$

$\left[\begin{matrix} x=-4\\ x=6\end{matrix}\right.(tm)$

Vậy `P_{min}=\sqrt{10}` khi `x=-4` hoặc `x=6`