Giải thích các bước giải:

$\begin{aligned}
& \text{Xét phương trình } x^2 - 4x + 1 = 0.\\

&\text{ Phương trình có } \Delta' = (-2)^2 - 1 = 3 > 0. \\
& \text{Theo hệ thức Vi-ét, ta có:} \\
& \begin{cases} x_1 + x_2 = 4 \\ x_1x_2 = 1 \end{cases} \\[5pt]
& \text{Vì } x_1 > x_2 \text{ nên } x_1 - x_2 > 0. \text{ Ta tính được hiệu hai nghiệm:} \\
& x_1 - x_2 = \sqrt{(x_1 - x_2)^2} = \sqrt{(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2} = \sqrt{4^2 - 4 \cdot 1} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}. \\[5pt]
& \text{Từ hệ phương trình } \begin{cases} x_1 + x_2 = 4 \\ x_1 - x_2 = 2\sqrt{3} \end{cases} \Rightarrow 2x_1 = (x_1 + x_2) + (x_1 - x_2) = 4 + 2\sqrt{3}. \\[15pt]

& \text{Xét mẫu thức của biểu thức } M\text{:} \\
& x_1^2 + x_2^2 - 13x_1x_2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 - 13x_1x_2 = (x_1 + x_2)^2 - 15x_1x_2 \\
& \phantom{x_1^2 + x_2^2 - 13x_1x_2} = 4^2 - 15 \cdot 1 = 16 - 15 = 1. \\[15pt]

& \text{Xét biểu thức trong căn ở tử thức: } A = x_2^4 - 10x_2^2 - 4x_2 + 2. \\
& \text{Vì } x_2 \text{ là nghiệm của phương trình nên } x_2^2 - 4x_2 + 1 = 0 \\

&\Leftrightarrow x_2^2 = 4x_2 - 1. \\
& \text{Bình phương hai vế, ta có: } x_2^4 = (4x_2 - 1)^2 = 16x_2^2 - 8x_2 + 1. \\
& \text{Tiếp tục thay } x_2^2 = 4x_2 - 1 \text{ vào } x_2^4\text{, ta được:} \\
& x_2^4 = 16(4x_2 - 1) - 8x_2 + 1 = 64x_2 - 16 - 8x_2 + 1 = 56x_2 - 15. \\[5pt]
& \text{Thay } x_2^4 \text{ và } x_2^2 \text{ vào biểu thức } A\text{, ta có:} \\
& A = (56x_2 - 15) - 10(4x_2 - 1) - 4x_2 + 2 \\
& A = 56x_2 - 15 - 40x_2 + 10 - 4x_2 + 2 \\
& A = 12x_2 - 3. \\[5pt]
& \text{Ta có:} \\
& A = 16x_2 - 4 - 4x_2 + 1 = 4(4x_2 - 1) - 4x_2 + 1. \\
& \text{Thay ngược } 4x_2 - 1 = x_2^2 \text{ trở lại, ta được:} \\
& A = 4x_2^2 - 4x_2 + 1 = (2x_2 - 1)^2. \\[15pt]

& \text{Để xác định dấu của } 2x_2 - 1\text{, ta xét hàm số } f(x) = x^2 - 4x + 1. \\
& \text{Ta có } f(0) = 1 > 0 \text{ và } f\left(\frac{1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^2 - 4\left(\frac{1}{2}\right) + 1 = -\frac{3}{4} < 0. \\
& \text{Vì } f(0) \cdot f\left(\frac{1}{2}\right) < 0 \text{ nên phương trình có một nghiệm nằm trong khoảng } \left(0; \frac{1}{2}\right). \\
& \text{Do } x_1 + x_2 = 4 \text{ và } x_1 > x_2 \text{ nên } x_2 < 2 < x_1. \\

&\text{ Suy ra nghiệm nhỏ } x_2 \in \left(0; \frac{1}{2}\right). \\
& \Rightarrow x_2 < \frac{1}{2} \Leftrightarrow 2x_2 - 1 < 0. \\
& \text{Vậy: } \sqrt{x_2^4 - 10x_2^2 - 4x_2 + 2} = \sqrt{(2x_2 - 1)^2} = |2x_2 - 1| = 1 - 2x_2. \\[15pt]

& \text{Thay tất cả các kết quả đã rút gọn vào biểu thức } M\text{ ban đầu, ta được:} \\
& M = \frac{4x_1 - (1 - 2x_2) - 13}{1} \\
& M = 4x_1 - 1 + 2x_2 - 13 \\
& M = 4x_1 + 2x_2 - 14 \\
& M = 2x_1 + 2(x_1 + x_2) - 14. \\[5pt]
& \text{Thay } 2x_1 = 4 + 2\sqrt{3} \text{ và } x_1 + x_2 = 4 \text{ vào } M\text{, ta có:} \\
& M = (4 + 2\sqrt{3}) + 2(4) - 14 \\
& M = 4 + 2\sqrt{3} + 8 - 14 \\
& M = 2\sqrt{3} - 2. \\[10pt]
& \text{Kết luận: } M = 2\sqrt{3} - 2.
\end{aligned}$