Giải thích các bước giải:

$\begin{aligned}
& \text{Vì } n \text{ là số nguyên dương } (n \ge 1) \text{ nên } n + 2 \ge 3. \\
& \text{Giả sử } n + 2 = a^3 \text{ và } n^2 - n - 3 = b^3 \text{ với } a, b \in \mathbb{Z}. \\
& \text{Từ } n + 2 \ge 3 \Rightarrow a^3 \ge 3 \Rightarrow a \ge 2 \text{ (do } a \text{ là số nguyên).} \\[5pt]
& \text{Rút } n \text{ từ phương trình thứ nhất, ta có: } n = a^3 - 2. \\
& \text{Thay } n = a^3 - 2 \text{ vào biểu thức thứ hai, ta được:} \\
& b^3 = (a^3 - 2)^2 - (a^3 - 2) - 3 \\
& \phantom{b^3} = a^6 - 4a^3 + 4 - a^3 + 2 - 3 \\
& \phantom{b^3} = a^6 - 5a^3 + 3. \\[10pt]
& \text{Ta sẽ chứng minh rằng với } a \ge 3\text{, } b^3 \text{ sẽ luôn nằm ngặt giữa hai lập phương đúng liên tiếp.} \\
& \text{Thật vậy, ta so sánh } a^6 - 5a^3 + 3 \text{ với } (a^2 - 1)^3 \text{ và } (a^2)^3: \\[5pt]
& \text{ Xét hiệu } (a^2)^3 - b^3: \\
& (a^2)^3 - b^3 = a^6 - (a^6 - 5a^3 + 3) = 5a^3 - 3. \\
& \text{Vì } a \ge 3 \text{ nên } 5a^3 - 3 > 0 \Rightarrow b^3 < (a^2)^3. \quad (1) \\[5pt]
& \text{ Xét hiệu } b^3 - (a^2 - 1)^3: \\
& b^3 - (a^2 - 1)^3 = a^6 - 5a^3 + 3 - (a^6 - 3a^4 + 3a^2 - 1) \\
& \phantom{b^3 - (a^2 - 1)^3} = 3a^4 - 5a^3 - 3a^2 + 4 \\
& \phantom{b^3 - (a^2 - 1)^3} = a^2(3a^2 - 5a - 3) + 4. \\
& \text{Với } a \ge 3\text{, ta dễ dàng đánh giá được phần trong ngoặc:} \\
& 3a^2 - 5a - 3 = a(3a - 5) - 3 \ge 3(3 \cdot 3 - 5) - 3 = 9 > 0. \\
& \text{Do đó, } a^2(3a^2 - 5a - 3) + 4 > 0 \Rightarrow b^3 > (a^2 - 1)^3. \quad (2) \\[10pt]
& \text{Từ (1) và (2) suy ra: } (a^2 - 1)^3 < b^3 < (a^2)^3 \text{ với mọi } a \ge 3. \\
& \text{Điều này là vô lí vì } b^3 \text{ không thể nằm giữa hai lập phương của hai số nguyên liên tiếp.} \\
& \text{Do đó, khả năng duy nhất xảy ra là } a = 2 \text{ (vì điều kiện ban đầu là } a \ge 2\text{).} \\[5pt]
& \text{Thay } a = 2 \text{ vào biểu thức của } n\text{, ta tìm được:} \\
& n = 2^3 - 2 = 6. \\[10pt]
& \text{Thử lại với } n = 6: \\
& \begin{cases} 
n + 2 = 6 + 2 = 8 = 2^3 \text{ (thỏa mãn là số lập phương)} \\ 
n^2 - n - 3 = 6^2 - 6 - 3 = 36 - 9 = 27 = 3^3 \text{ (thỏa mãn là số lập phương)} 
\end{cases} \\[10pt]
& \text{Kết luận: } n = 6 \text{ là giá trị nguyên dương duy nhất thỏa mãn yêu cầu bài toán.}
\end{aligned}$