Cho tam giác nhọn ABC (AB<AC) có các đường cao BE,CF cắt nhau tại H

a) Chứng minh AEHF là tứ giác nội tiếp

b) Gọi I là giao điểm của AH và FE.Chứng minh IA.IH = IE.IF

`@` `\text{pwz}`

a) Xét `\triangle``\text{ABC}` có `BE` , `CF` là đường cao

`⇒` `BE` `\bot` `AC`

`⇒` `CF` `\bot` `AB`

Xét `\triangle``\text{AFH}` vuông tại F ( `CF` `\bot` `AB` ) 

suy ra `A` , `F` , `H` cùng thuộc đường tròn đường kính `AH` (1)

Xét `\triangle``\text{AEH}` vuông tại F ( `BE` `\bot` `AC` ) 

suy ra `A` , `E` , `H` cùng thuộc đường tròn đường kính `AH` (2)

Từ (1)(2) `⇒` tứ giác `\text{AEHF}` nội tiếp đường tròn đường kính `AH` ( đpcm )

b) Xét (O) , ta có :

`→` `\hat{EAH}` = `\hat{EFH}` ( cùng chắn cung $\mathop{EH}\limits^{\displaystyle\frown}$ )

hay `\hat{EAI}` = `\hat{HFI}`

Xét `\triangle``\text{IAE}` và `\triangle``\text{IFH}` , ta có :

                 `\hat{AIE}` = `\hat{FIH}` ( đối đỉnh )

                 `\hat{EAI}` = `\hat{HFI}` ( cmt )

`⇒`  `\triangle``\text{IAE}` $\backsim$ `\triangle``\text{IFH}` ( g-g )

`⇒` $\dfrac{IA}{IF}$ = $\dfrac{IE}{IH}$ `⇒` `IA` . `IH` = `IE` . `IF` ( đpcm )