aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 a) Tính góc C và so sánh độ dài các cạnh ΔABC.

Ta có `\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180^0`

Suy ra `\hat{C} = 180^0 -\hat{A} + \hat{B} = 180^0 -40^0 -75^0 = 65^0`

Cạnh `BC` đối diện góc `A`; cạnh `AB` đối diện góc `C`; cạnh `AC` đối diện góc `B`

Mà `\hat{A} < \hat{C} < \hat{B}` suy ra  `BC< AB < AC`

b) CM : ΔBHD = ΔBHA

`AH ⊥ BC` mà `H` thuộc `AD` suy ra `\hat{AHB} = \hat{DHB} = 90^0`

Xét `ΔBHD` và `ΔBHA` có

`HA = HD` ( gt) ;` \hat{AHB} = \hat{DHB} (cmt) ; BH` cạnh chung

Suy ra `ΔBHD  = ΔBHA ( c.g.c)`

c) CM : MH = MD và chu vi ΔABD > BH + 3 AE

`ΔBHD  =ΔBHA (cmt)` suy ra `\hat{BAH} =\hat{BDH}` ( 2 góc tương ứng)

Hay `\hat{BAH} = \hat{MDH}` ( vì `M ∈ BD}`)

Mà `\hat{BAH} = \hat{MHD}` ( 2 góc đồng vị)

Suy ra `\hat{MDH} = \hat{MHD}` do đó `ΔHMD` cân tại `M` suy ra `MH =MD`

+ `ΔBHD = ΔBHA (cmt)` suy ra `\hat{ABH} = \hat{DBH}` ( 2 góc tương ứng)

mà `\hat{MHB} = \hat{ABH}` ( 2 góc so le trong)

Suy ra `\hat{MHB} = \hat{DBH} = \hat{MBH}` ( vì `M ∈ BD`)

Suy ra `ΔBMH` cân tại `M` do đó `MB = MH`

Mà `MH = MD` suy ra `MB = MD` nên `M` là trung điểm `BD `

Suy ra `AM` là đường trung tuyến `ΔABD`

`HA =HD` suy ra `H` là trung điểm `AD` do đó `BH` là đg trung tuyến `ΔABD`

Suy ra `E` là trong tâm `ΔABD` do đó `3AE = 2AM` ( t/c trọng tâm)

+ Kẻ đường trung tuyến `DN` của `ΔABD`

Do `ΔBHD = ΔBHA` suy ra `BA = BD` ( 2 cạnh tương ứng)

Do đó `ΔABD` cân tại `B` suy ra `2 `đường trung tuyến `AM = DN`

`⇒ BH + 3AE = BH + 2AM = BH + AM + BN` ( tổng độ dài 3 đg trung tuyến `ΔABD`)

Chu vi `ΔABD = AB + BD + AD`  ( tổng độ dài 3 cạnh `ΔABD`)

Ta đi chứng minh tổng độ dài 3 cạnh của Δ lớn hơn tổng độ dài 3 đg trung tuyến

Trên `BC` lấy điểm `F` sao cho `HF  = HB`

Xét `ΔAHB` và `ΔDHF` có

`HF  = HB` ( cách dựng hình)

`\hat{AHB} = \hat{DHF}` ( đối đỉnh) ; `HA = HD` ( gt)

Suy ra `ΔAHB = ΔDHF ( c.g.c)` suy ra `AB = DF` ( 2 cạnh tương ứng)

Lại có `DB +  DF > BF`  ( bất đẳng thức trong `ΔBDF`)

Suy ra `BD  + BA > BH + HF = 2BH`

Chứng minh tương tự ta có : `AB + AD > 2AM ; DB + DA > 2DN`

Do đó `2(AB + AD + BD ) > 2(BD + AM + BN)`

suy ra `AB + AD + BD > 3AE + BH`