Đáp án:

a) ${ΔABC}$ $\backsim$ ${ΔAHC}$ và ${AC^2=BC.HC}$

b) ${BC}$ = 20 cm và ${HC}$ = 12,8 cm

c) `\frac{AH}{IA} = \frac{AC}{DC}`

Giải thích các bước giải:

a) Xét ${ΔABC}$ $\backsim$ ${ΔHCA}$ có:

${\widehat{BAC}=\widehat{AHC}=90^o}$ (AH đg cao, ABC vg ở A)

$\widehat{C}$ chung

⇒ ${ΔABC}$ $\backsim$ ${ΔHCA}$ ${(g-g).}$

⇒ `\frac{AC}{HC} = \frac{BC}{AC}` ⇒ ${AC^2=BC.HC}$ (${(đpcm).}$

Xét ${ΔABC}$ vuông tại ${A}$ theo địng lý Pythagore có:

${BC^2=AB^2+AC^2=12^2+16^2=144+256=400}$

${BC=\sqrt{400}=20cm}$

Từ ${AH^2=BC.HC}$ (cm a):

${16^2=20.HC}$ ⇒ ${256=20.HC}$

⇒ ${HC=\frac{256}{20}=12,8cm}$

Vậy BC = 20 cm, HC = 12,8 cm.

c) Xét ${ΔABC}$ có ${BD}$ phân giác.

`\frac{DC}{AD}=\frac{BC}{AB}

⇒ `\frac{DC}{DC+AD} = \frac{BC}{BC+AB}`

⇒ `\frac{DC}{AC} = \frac{BC}{BC+AB}`

⇒ `\frac{AC}{DC}=\frac{BC}{BC+AB}` (1)

Xét ${ΔABH}$ có ${BI}$ đg phân giác $\widehat{ABH}$ (I ∈ AH)

⇒ `\frac{IA}{IH} = \frac{AB}{AH}`

⇒ `\frac{IA}{IA+IH} = \frac{AB}{AB+BH}`

⇒ `\frac{IA}{AH} = \frac{AB}{AB+BH}`

⇒ `\frac{AH}{IA} = \frac{AB+BH}{AB}` (2)

Từ ${ΔABC}$ $\backsim$ ${ΔHBA}$ ${(g-g)}$ ⇒ ${\widehat{BAC}=\widehat{BHA}=90^o}$ ; $\widehat{B}$ chung.

⇒ `\frac{BC}{AB} = \frac{AB}{BH} = \frac{AC}{AH}`

Từ `\frac{BC}{AB} = \frac{AB}{BH}` (cmt) thì tính chất tỉ lệ thức có:

`\frac{BC+AB}{BC} = \frac{AB+BH}{AB}` (3)

Từ (1), (2), và (3) ⇒ `\frac{AH}{IA} = \frac{AC}{DC} (đpcm).`

d) Quan sát hình ảnh.