`#bot`

đặt `S=MA*MB*MC*MD(1)`

xét `Delta MAB` và `Delta HMB` có:

`hat(B)` chung

`hat(BMA)=hat(MHB)=90^o`

`=>Delta MAB` $\backsim$ `Delta HMB(g.g)`

`=>(MA)/(HM)=(AB)/(MB)=>MA*MB=HM*AB=HM*2R(2)`

hạ `ME bot CD` tại `E.` Do `ABCD` là hình vuông nên `AB bot CD`

xét `Delta MEOH` có `hat(MEO)=hat(EOH)=hat(OHM)=90^o`

`=>MEOH` là hình chữ nhật

`=>ME=OH`

xét `Delta MCD` và `Delta EMD` có:

`hat(D)` chung

`hat(CMD)=hat(MED)=90^o`

`=>Delta MCD` $\backsim$ `Delta EMD(g.g)`

`=>(MC)/(ME)=(CD)/(MD)=>MC*MD=ME*CD=OH*2R(3)`

`(1),(2),(3)=>S=OH*HM*4R^2=64OH*HM`

xét `Delta OMH` vuông tại `H` có `MH^2+OH^2=OM^2=R^2=16(m)`

ta có:

`OH*HM<=(OH^2+HM^2)/2=16/2=8` (BĐT Cauchy)

`=>S<=512`

DBXR khi: `{(OH=HM),(MH^2+OH^2=16):}`

`=>2OH^2=16`

`=>OH^2=8`

`=>OH=2sqrt2~~2,83(m)`

vậy `O` cách `H` xấp xỉ `2,83m` để tích khoảng cách từ Mai đến An,Bình,Cúc,Duy đạt GTLN bằng `512`