Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 `Pt : x^2 -3x + 1 =  0`

Pt có `2` nghiệm phân biệt `x_1 > x_2` theo Vi-et có

`x_1  +x_2  = -b/a = 3 ; x_1.x_2 = c/a = 1`

`x_1 + x_2  =3 >0 ; x_1x_2 = 1 > 0` suy ra `x_1 >x_2 >0`

`x_2` là nghiệm nên `x_2^2 -3x_2 +1 = 0`

`x_2^2 = 3x_2 -1`

`x_1` là nghiệm nên `x_1^2  -3x_1 +1  =0`

`x_1^2  = 3x_1 -1` suy ra `x_1^3  = 3x_1^2 -x_1 = 3(3x_1 -1) -x_1`

`x_1^3 = 8x_1 -3`

Nhận xét vì có $\sqrt[3]{610x_1 -233}$ nên `610x_1 -233 = (ax_1 + b)^3` `(a,b ∈ Z)`

`(ax_1 +b)^3 = a^3. x_1^3 + 3a^2.x_1^2.b + 3a.x_1. b^2 + b^3`

`a^3( 8x_1 -3) + 3a^2.b (3x_1 -1) + 3ab^2. x_1 + b^3`

`8a^3.x_1 - 3a^3 + 9a^2.b.x_1 - 3a^2b + 3a.b^2. x_1 + b^3`

`x_1.( 8a^3 + 9a^2. b + 3a.b^2) + b^3 - 3a^3 - 3a^2. b`

Suy ra `8a^3 + 9a^2. b + 3a.b^2 = 610`

Do đó `8a^3 ≈ 610` suy ra `a^3 ≈ 610/8 = 76,25`

`4^3 = 64` và `5^3 = 125`  vậy `a ∈ {4; 5}`

Với `a  = 5` suy ra `8.5^3 + 9.5^2. b + 3.5. b^2 = 610`

`15b^2 + 225b + 390 = 0`

`b = -2 ; b = -13`

với `b = -2` thay vào `b^3 -3a^3 - 3a^2. b`

Suy ra `(-2)^3 -3.(5)^3 - 5.5^2. (-2) = -8 - 375 + 150 = -233`

Vậy `610x_1 -233  = (5x_1 -2)^3`

+` 8 -3x_1 =8 - 3( 3 -x_2) = 3x_2 -1  = x_2^2`

Vậy `P =` $\sqrt[3]{610x_1 -233}$ `+ sqrt{8 -3x_1} -4x_2 -1`

`P =` $\sqrt[3]{(5x_1 -2)^3}$ `+ sqrt{x_2^2} -4x_2 -1`

`P = 5x_1 -2 + |x_2| - 4x_2 -1  = 5x_1 -3x_2 -3` ( do `x_2 >0`)

`P = 5x_1 - 3x_1 -(x_1 +x_2) = 4x_1 -4x_2 = 4(x_1 -x_2)`

Ta có `(x_1 - x_2)^2  = (x_1 +x_2)^2 - 4x_1x_2 = 3^2 -4.1 = 5`

Suy ra `|x_1 -x_2| = sqrt{5}` mà `x_1 > x_2 `

Do đó `x_1 - x_2  = sqrt{5}`

Suy ra `P = 4sqrt{5}`

Trên là cách giải còn sau khi xác định được các hệ số ta giải như sau cho gọn

`x_1^3  = 8x_1 -3` suy ra `125x_1^3 = 125(8x_1 -3) = 1000x_1 - 375 `

`x_1^2 = 3x_1 -1` suy ra `150x_1^2  = 150(3x_1 -1) = 450x_1 - 150`

`125x_1^3 - 150x_2^3 = (1000x_1 - 450x_1) - (375 - 150)  = 550x_1 - 225`

`125x_1^3 - 150x_1^2 + (60x_1 - 8) =(60x_1 -8) + 550x_1 - 223  = 610x_1 - 233`

`(5x_1)^3 - 3.(5.x_1)^2. (-2) + 3.5.x_1. (-2)^2 + (-2)^3 = 610x_1 -233`

`(5x_1 - 2)^3  = 610x_1 - 233`

+ `8- x_1  = 8 - (3- x_2) = 3x_2 -1 = x_2^2`

`P =` $\sqrt[3]{610x_1 -233}$ `+ sqrt{8 -3x_1} -4x_2 -1`

`P =` $\sqrt[3]{(5x_1 -2)^3}$ `+ sqrt{x_2^2} -4x_2 -1`

`P = 5x_1 -2 + x_2 - 4x_2 -1` ( do `x_2 > 0`)

`P = 4(x_1 -x_2)  = 4sqrt{(x_1 -x_2)^2}`

`P = 4sqrt{(x_1 +x_2)^2 -4x_1x_2} = 4sqrt{3^2 -4} =4sqrt{5}`