Đáp án+Giải thích các bước giải:

$c)$ Gọi $O$ là giao điểm của $ED$ và $AM$

Xét $\Delta BDH$ và $\Delta HDA$ có:

$\widehat{BDH}=\widehat{HDA}=90^{\circ}$

$\widehat{DHA}=\widehat{DBH}$(cùng phụ $\widehat{DHB}$)

$\Rightarrow\Delta BDH\backsim\Delta HDA$(góc.góc)

$\Rightarrow\dfrac{BD}{HD}=\dfrac{HD}{AD}$(cặp cạnh tương ứng)

Xét tứ giác $ADHE$ có:

$\widehat{ADH}=90^{\circ}(HD \bot AB)$(gt)

$\widehat{DAE}=90^{\circ}(\Delta ABC$ vuông tại $A$)

$\widehat{AEH}=90^{\circ}(HE\bot AC)$

$\Rightarrow ADHE$ là hình chữ nhật $\Rightarrow AD=HE$

$\Rightarrow\dfrac{BD}{DH}=\dfrac{DH}{HE}$

Xét $\Delta BDH$ và $\Delta DHE$ có: 

$\dfrac{BD}{DH}=\dfrac{DH}{HE}$

$\widehat{BDH}=\widehat{DHE}=90^{\circ}$

$\Rightarrow\Delta BDH\backsim\Delta DHE$(góc.góc)

$\Rightarrow\widehat{BHD}=\widehat{DEH}$(cặp góc tương ứng)

Có: $\widehat{DEH}=\widehat{EDA}(AD//HE$ do cùng $\bot AC$)

$\Rightarrow \widehat{BHD}=\widehat{EDA}$

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$ có:

$AM$ là trung tuyến(gt)

$\Rightarrow AM=\dfrac{1}{2}BC$

$\Rightarrow AM=BM\Rightarrow\Delta AMB$ cân tại $M$ $\Rightarrow\widehat{MAB}=\widehat{MBA}$

Có: $\widehat{DBH}+\widehat{DHB}=90^{\circ}$

Mà $\widehat{OAD}=\widehat{MBA}$(chứng minh trên)

và $\widehat{ODA}=\widehat{DHB}$(chứng minh trên)

$\Rightarrow\widehat{OAD}+\widehat{ODA}=90^{\circ}$

$\Rightarrow\widehat{DOA}=90^{\circ}\Rightarrow AM\bot DE$.