Giải thích các bước giải:

$\begin{aligned}
& \text{Xét phương trình: } x^2 - 2mx - m = 0 \quad (1) \\
& \text{a) Với } m = 1, \text{ phương trình (1) trở thành: } x^2 - 2x - 1 = 0. \\
& \text{Ta có: } \Delta' = (-1)^2 - 1 \cdot (-1) = 2 > 0. \\
& \text{Phương trình có hai nghiệm phân biệt: } x_1 = \frac{1 + \sqrt{2}}{1} = 1 + \sqrt{2}; \quad x_2 = \frac{1 - \sqrt{2}}{1} = 1 - \sqrt{2}. \\
& \text{b) Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt } x_1, x_2 \text{ thì } \Delta' > 0: \\
& \Delta' = (-m)^2 - 1 \cdot (-m) = m^2 + m > 0 \Leftrightarrow m(m+1) > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} m > 0 \\ m < -1 \end{aligned} \right. \quad (*) \\
& \text{Theo hệ thức Vi-ét, ta có: } \begin{cases} x_1 + x_2 = 2m \\ x_1x_2 = -m \end{cases} \\
& \text{Vì } x_1 \text{ là nghiệm của (1) nên: } x_1^2 - 2mx_1 - m = 0 \Rightarrow x_1^2 = 2mx_1 + m. \\
& \text{Thay vào mẫu số thứ nhất của biểu thức } T, \text{ ta được:} \\
& D_1 = x_1^2 + 2mx_2 + 11(m+1) = (2mx_1 + m) + 2mx_2 + 11m + 11 \\
& D_1 = 2m(x_1 + x_2) + 12m + 11 = 2m(2m) + 12m + 11 = 4m^2 + 12m + 11. \\
& \text{Tương tự, vì vai trò } x_1, x_2 \text{ như nhau nên mẫu số thứ hai cũng là: } D_2 = 4m^2 + 12m + 11. \\
& \text{Khi đó: } T = \frac{1}{D_1} + \frac{1}{D_2} = \frac{2}{4m^2 + 12m + 11}. \\
& \text{Xét mẫu số: } 4m^2 + 12m + 11 = (2m + 3)^2 + 2. \\
& \text{Ta thấy } (2m + 3)^2 \ge 0 \text{ với mọi } m \Rightarrow (2m + 3)^2 + 2 \ge 2. \\
& \Rightarrow T = \frac{2}{(2m + 3)^2 + 2} \le \frac{2}{2} = 1. \\
& \text{Dấu "=" xảy ra khi } 2m + 3 = 0 \Leftrightarrow m = -\frac{3}{2} = -1,5 \text{ (thỏa mãn điều kiện } (*)). \\
& \text{Vậy giá trị lớn nhất của } T \text{ là } 1 \text{ khi } m = -1,5.
\end{aligned}$