Giải thích các bước giải:

$\begin{aligned}
& \text{a) Tìm biểu diễn tham số } r = r(t) \text{ của cung (C):} \\
& \text{Đặt } x = t. \text{ Từ phương trình của parabol } [y = x^2, z = -x], \text{ ta có: } y = t^2 \text{ và } z = -t. \\
& \text{Điểm } A(0,0,0) \text{ ứng với } t = 0. \text{ Điểm } B(1,1,-1) \text{ ứng với } t = 1. \\
& \text{Vậy biểu diễn tham số của cung (C) là: } r(t) = (t, t^2, -t) \text{ với } 0 \le t \le 1. \\
\\
& \text{b) Tính tích phân đường } I = \int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}: \\
& \text{Từ } r(t) = (t, t^2, -t), \text{ ta có vi phân: } d\mathbf{r} = (dx, dy, dz) = (1, 2t, -1) dt. \\
& \text{Thay các thành phần } x, y, z \text{ theo } t \text{ vào trường vectơ } \mathbf{F} = (P, Q, R): \\
& P = x^2 + yz = t^2 + t^2(-t) = t^2 - t^3. \\
& Q = y^2 + zx = (t^2)^2 + (-t)t = t^4 - t^2. \\
& R = z^2 + xe^z = (-t)^2 + t e^{-t} = t^2 + t e^{-t}. \\
& \text{Khi đó, biểu thức dưới dấu tích phân là:} \\
& \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = (t^2 - t^3) \cdot 1 + (t^4 - t^2) \cdot 2t + (t^2 + t e^{-t}) \cdot (-1) \\
& \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = t^2 - t^3 + 2t^5 - 2t^3 - t^2 - t e^{-t} = 2t^5 - 3t^3 - t e^{-t}. \\
& \text{Tích phân cần tính trở thành:} \\
& I = \int_0^1 (2t^5 - 3t^3 - t e^{-t}) dt = \left[ \frac{2t^6}{6} - \frac{3t^4}{4} \right]_0^1 - \int_0^1 t e^{-t} dt \\
& \text{Tính } \int t e^{-t} dt \text{ bằng phương pháp từng phần: } u = t, dv = e^{-t} dt \Rightarrow du = dt, v = -e^{-t}. \\
& \Rightarrow \int t e^{-t} dt = -t e^{-t} + \int e^{-t} dt = -t e^{-t} - e^{-t} = -(t+1)e^{-t}. \\
& \text{Thay vào biểu thức của } I: \\
& I = \left( \frac{1}{3} - \frac{3}{4} \right) - \left[ -(t+1)e^{-t} \right]_0^1 = -\frac{5}{12} - \left( -2e^{-1} - (-1)e^0 \right) \\
& I = -\frac{5}{12} + 2e^{-1} - 1 = \frac{2}{e} - \frac{17}{12}. \\
& \text{Vậy giá trị của tích phân là } I = \frac{2}{e} - \frac{17}{12}.
\end{aligned}$