Giải thích các bước giải:

$\begin{aligned}
& \text{a) Tìm biểu diễn tham số của (C):} \\
& \text{Đường cong (C) là nửa đường tròn } x^2 + y^2 = 4 \text{ (có tâm } O(0,0)\text{, bán kính } R=2\text{).} \\
& \text{Điểm bắt đầu } A(0, 2) \text{ nằm trên trục } Oy \text{ dương, tương ứng với góc } t = \frac{\pi}{2}. \\
& \text{Điểm kết thúc } B(0, -2) \text{ nằm trên trục } Oy \text{ âm, tương ứng với góc } t = \frac{3\pi}{2}. \\
& \text{Vì (C) được định hướng ngược chiều kim đồng hồ (chiều dương lượng giác) từ } A \text{ đến } B\text{,} \\
& \text{góc } t \text{ sẽ quét từ } \frac{\pi}{2} \text{ qua } \pi \text{ đến } \frac{3\pi}{2}. \\
& \text{Do đó, phương trình tham số của (C) là:} \\
& \begin{cases} x = 2\cos t \\ y = 2\sin t \end{cases} \quad \text{với } t \in \left[ \frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2} \right]. \\
& \text{Vậy biểu diễn tham số của (C) là: } \mathbf{r}(t) = (2\cos t, 2\sin t) \text{ với } t \in \left[ \frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2} \right]. \\[15pt]

& \text{b) Tính tích phân đường } I = \int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}: \\
& \text{Từ phương trình tham số, ta có: } d\mathbf{r} = \mathbf{r}'(t)dt = (-2\sin t, 2\cos t) dt. \\
& \text{Mặt khác, do (C) là một phần của đường tròn } x^2 + y^2 = 4\text{, ta có thể rút gọn trường vectơ } \mathbf{F}: \\
& \mathbf{F}(x, y) = (x^2 + y^2 + 3x, 3 - 2y) = (4 + 3x, 3 - 2y). \\
& \text{Thay tham số } t \text{ vào } \mathbf{F}\text{, ta được:} \\
& \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) = (4 + 3(2\cos t), 3 - 2(2\sin t)) = (4 + 6\cos t, 3 - 4\sin t). \\
& \text{Tính vô hướng } \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}\text{:} \\
& \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \left[ (4 + 6\cos t)(-2\sin t) + (3 - 4\sin t)(2\cos t) \right] dt \\
& \phantom{\mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}} = \left( -8\sin t - 12\sin t \cos t + 6\cos t - 8\sin t \cos t \right) dt \\
& \phantom{\mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}} = \left( -8\sin t + 6\cos t - 20\sin t \cos t \right) dt \\
& \phantom{\mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}} = \left( -8\sin t + 6\cos t - 10\sin 2t \right) dt. \\
& \text{Chuyển tích phân đường về tích phân xác định theo } t\text{:} \\
& I = \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} (-8\sin t + 6\cos t - 10\sin 2t) dt \\
& I = \left[ 8\cos t + 6\sin t + 5\cos 2t \right]_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}}. \\
& \text{Thay cận trên } t = \frac{3\pi}{2}\text{:} \\
& \text{Giá trị 1} = 8\cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) + 6\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) + 5\cos(3\pi) = 8(0) + 6(-1) + 5(-1) = -11. \\
& \text{Thay cận dưới } t = \frac{\pi}{2}\text{:} \\
& \text{Giá trị 2} = 8\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + 6\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + 5\cos(\pi) = 8(0) + 6(1) + 5(-1) = 1. \\
& \text{Vậy } I = (\text{Giá trị 1}) - (\text{Giá trị 2}) = -11 - 1 = -12. \\[10pt]
& \text{Kết luận: } I = -12.
\end{aligned}$