Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O cạnh bằng 4 .SA vuông góc với đáy ABCD. SA = √5 . Tính cosin góc phản nhị diện[ S,BD,A]

Giải thích các bước giải:

$\begin{aligned}
& \text{Đáy } ABCD \text{ là hình vuông tâm } O \text{ nên hai đường chéo vuông góc với nhau:} \\
& \Rightarrow AO \perp BD \text{ tại } O. \quad (1) \\
& \text{Mặt khác, do } SA \perp (ABCD) \text{ và } BD \subset (ABCD) \text{ nên:} \\
& \Rightarrow SA \perp BD. \quad (2) \\
& \text{Từ (1) và (2) suy ra } BD \perp (SAO). \\
& \text{Vì } SO \subset (SAO) \text{ nên } BD \perp SO. \\
& \text{Nhị diện } [S, BD, A] \text{ có cạnh là đường thẳng } BD. \\
& \text{Ta có: } \begin{cases} SO \perp BD \text{ tại } O \text{ (với } SO \text{ nằm trong nửa mặt phẳng chứa } S) \\ AO \perp BD \text{ tại } O \text{ (với } AO \text{ nằm trong nửa mặt phẳng chứa } A) \end{cases} \\
& \Rightarrow \text{Góc phẳng nhị diện } [S, BD, A] \text{ chính là góc } \widehat{SOA}. \\[15pt]

& \text{Hình vuông } ABCD \text{ có cạnh } a = 4, \text{ suy ra độ dài đường chéo } AC \text{ là:} \\
& AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = 4\sqrt{2}. \\
& \text{Do } O \text{ là tâm hình vuông nên } AO = \frac{1}{2}AC = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}. \\
& \text{Vì } SA \perp (ABCD) \text{ và } AO \subset (ABCD) \text{ nên } \Delta SAO \text{ vuông tại } A. \\
& \text{Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông } SAO, \text{ ta có cạnh huyền } SO\text{:} \\
& SO = \sqrt{SA^2 + AO^2} = \sqrt{(\sqrt{5})^2 + (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{5 + 8} = \sqrt{13}. \\[15pt]

& \text{Xét tam giác vuông } SAO \text{ tại } A, \text{ ta có:} \\
& \cos \widehat{SOA} = \frac{\text{Kề}}{\text{Huyền}} = \frac{AO}{SO} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{13}} = \frac{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{13}}{13} = \frac{2\sqrt{26}}{13}. \\[10pt]
& \text{Kết luận: } \text{Cosin của góc phẳng nhị diện } [S, BD, A] \text{ bằng } \frac{2\sqrt{26}}{13}.
\end{aligned}$