`a)`

Ta có `AEHF` có `hat{A}=hat{E}=hat{F}=90^o` nên tứ giác `AEHF` là hình chữ nhậ.

`=>EF=AH`

Xét `triangleHBA` và `triangleABC` có:

`hat{B}` chung

`hat{BHA}=hat{BAC}=90^o`

`=> triangleHBA` $\backsim$ `triangleABC \ (g.g)`

`=>(HB)/(AB)=(AB)/(BC)=>AB^2=HB.BC \ (1)`

Xét `triangleHAC` và `triangleABC` có:

`hat{C}` chung

`hat{CHA}=hat{BAC}=90^o`

`=> triangleHAC` $\backsim$ `triangleABC \ (g.g)`

`=>(HC)/(AC)=(AC)/(BC)=>AC^2=HC.BC \ (2)`

Từ `(1)` và `(2)=>(AB^2)/(AC^2)=(HB.BC)/(HC.BC)=(HB)/(HC)` (đpcm)

`b)`

Xét `triangleAEH` và `triangleAHB` có:

`hat{EAH}` chung

`hat{AEH}=hat{AHB}=90^o`

`=> triangleAEH` $\backsim$ `triangleAHB \ (g.g)`

`=> (AE)/(AH)=(AH)/(AB)=>AE=(AH^2)/(AB) \ (3)`

Xét `triangleAFH` và `triangleAHC` có:

`hat{FAH}` chung

`hat{AFH}=hat{AHC}=90^o`

`=> triangleAFH` $\backsim$ `triangleAHC \ (g.g)`

`=> (AF)/(AH)=(AH)/(AC)=>AF=(AH^2)/(AC) \ (4)`

Nhân `(3)` và `(4)`, ta được: `AE.AF=(AH^4)/(AB.AC) \ (5)`

Mặt khác, ta có:

`S_(ABC)=1/2 . AB . AC = 1/2 . AH . BC =>AB.AC=AH.BC`

Thay vào `(5)` có:

`AE.AF=(AH^4)/(AH.BC)=(AH^3)/(BC)`

`=>AH^3=AE.AF.BC`

Mà `AH=EF` nên `EF^3=AE.AF.BC` (đpcm)

`c)`

Xét `triangleBEH` và `triangleHBA` có:

`hat{B}` chung

`hat{E}=hat{H}=90^o`

`=> triangleBEH` $\backsim$ `triangleHBA \ (g.g)`

`=> (BE)/(BH)=(BH)/(AB)=>BE=(BH^2)/(AB) \ (6)`

Xét `triangleCFH` và `triangleHCA` có:

`hat{C}` chung

`hat{F}=hat{H}=90^o`

`=> triangleCFH` $\backsim$ `triangleHCA \ (g.g)`

`=> (CF)/(CH)=(CH)/(AC)=>CF=(CH^2)/(AC) \ (7)`

Từ `(6)` và `(7)` có `BE.CF=(BH^2 . CH^2)/(AB.AC)=(BH.CH)^2/(AB.AC)`

Ta có: `triangleHBA` $\backsim$ `triangleHAC` (cùng đồng dạng với `triangleABC`)

`=> (HB)/(HA)=(HA)/(HC)=>AH^2=HB.CH`

`=> BE . CF=(AH^2)^2/(AB.AC)=(AH^4)/(AB.AC)`

Mà `AE.AF=(AH^4)/(AB.AC)` (cmt)

`=> AE.AF=BE.CF` (đpcm)

$\color{#FF2E8A}{♡^♡}
\color{#FF3B94}{𝕻}
\color{#FF4FA3}{𝖍}
\color{#FF61AE}{𝖚}
\color{#FF73B6}{𝖔}
\color{#FF85BF}{𝖓}
\color{#FF97C8}{𝖌}
\color{#FFA9D1}{𝖌} \ 
\color{#FFB9D9}{𝕷}
\color{#FFC9E1}{𝖎}
\color{#FFD6E8}{𝖓}
\color{#FFE3EF}{𝖍}
\color{#FFF0F6}{𝖍}
\color{#FF2E8A}{♡^♡}$