Đáp án: 4

Giải thích các bước giải:

Đặt hệ trục tọa độ cho hình hộp chữ nhật:

A(0,0,0),B(a,0,0),D(0,b,0), A'(0,0,c)

suy ra

B'(a,0,c), C(a,b,0), C'(a,b,c), D'(0,b,c).

Ta có:{AC'}=(a,b,c).

1. Tính x=AC′AGx=AGAC′​

G là trọng tâm tam giác A′BDA′BD, nên

G(a3,b3,c3).G(3a​,3b​,3c​).

Do đó

AG→=(a3,b3,c3)=13(a,b,c)=13AC′→.AG=(3a​,3b​,3c​)=31​(a,b,c)=31​AC′.

Suy ra

AG=13AC′⇒AC′AG=3.AG=31​AC′⇒AGAC′​=3.

Vậy x=3.x=3.2.

2  Tính y=ANAMy=AMAN​

M nằm trong tam giác A′BDA′BD, nên tồn tại α,β,γ>0α,β,γ>0, α+β+γ=1α+β+γ=1 sao cho

M=αA′+βB+γD.M=αA′+βB+γD.

Tọa độ:

M=(βa,γb,αc).M=(βa,γb,αc).

Đường thẳng AMAM:

P(t)=A+tAM→=(tβa, tγb, tαc).P(t)=A+tAM=(tβa, tγb, tαc).

Mặt phẳng (B′D′C)(B′D′C) đi qua B′(a,0,c),D′(0,b,c),C(a,b,0)B′(a,0,c),D′(0,b,c),C(a,b,0).

Ta tìm phương trình mặt phẳng này.

Lấy hai vectơ:

B′D′→=(−a,b,0),B′C→=(0,b,−c).B′D′=(−a,b,0),B′C=(0,b,−c).

Vectơ pháp tuyến:

n⃗=B′D′→×B′C→=(−bc,−ac,−ab).n=B′D′×B′C=(−bc,−ac,−ab).

Suy ra phương trình mặt phẳng:

bcx+acy+abz=abc.bcx+acy+abz=abc.

Chia abcabc:

xa+yb+zc=1.ax​+by​+cz​=1.

Thay điểm P(t)P(t) vào:

tβaa+tγbb+tαcc=1atβa​+btγb​+ctαc​=1t(α+β+γ)=1.t(α+β+γ)=1.

Mà α+β+γ=1α+β+γ=1, nên

t=1.t=1.

Do đó giao điểm NN chính là MM.

Vì vậy

AN=AM⇒y=ANAM=1.AN=AM⇒y=AMAN​=1.3.

Kết quả

x+y=3+1=4.x+y=3+1=4.