Giải thích các bước giải:

$\begin{aligned}
& \text{a) Vì } ABC.A'B'C' \text{ là lăng trụ tam giác đều nên đáy } ABC \text{ là tam giác đều cạnh } a\\
& \text{và cạnh bên } AA' \perp (ABC).\\
& \text{Diện tích đáy: } S_{ABC} = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}\\
& \text{Thể tích khối lăng trụ là: } V = S_{ABC} \cdot AA' = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot \dfrac{3a}{2} = \dfrac{3a^3\sqrt{3}}{8}\\
\\
& \text{b) Ta có } M \text{ là trung điểm của } B'C \text{ và } B'C \cap (A'BC) = C\\
& \rightarrow \dfrac{d(M, (A'BC))}{d(B', (A'BC))} = \dfrac{MC}{B'C} = \dfrac{1}{2} \rightarrow d(M, (A'BC)) = \dfrac{1}{2}d(B', (A'BC))\\
& \text{Gọi } O = AB' \cap A'B. \text{ Do mặt bên } ABB'A' \text{ là hình chữ nhật nên } O \text{ là trung điểm } AB'.\\
& \text{Vì } O \in A'B \subset (A'BC) \rightarrow AB' \cap (A'BC) = O\\
& \rightarrow \dfrac{d(B', (A'BC))}{d(A, (A'BC))} = \dfrac{B'O}{AO} = 1 \rightarrow d(B', (A'BC)) = d(A, (A'BC))\\
& \text{Gọi } I \text{ là trung điểm của } BC \rightarrow AI \perp BC \text{ và } AI = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}\\
& \text{Ta có: } \begin{cases} BC \perp AI \\ BC \perp AA' \ (do \ AA' \perp (ABC)) \end{cases} \rightarrow BC \perp (A'AI)\\
& \text{Trong mặt phẳng } (A'AI), \text{ kẻ } AH \perp A'I \text{ tại } H \ (H \in A'I).\\
& \text{Vì } BC \perp (A'AI) \rightarrow BC \perp AH. \text{ Suy ra } AH \perp (A'BC) \text{ tại } H.\\
& \rightarrow d(A, (A'BC)) = AH\\
& \text{Xét } \Delta A'AI \text{ vuông tại } A, \text{ có đường cao } AH:\\
& \dfrac{1}{AH^2} = \dfrac{1}{AA'^2} + \dfrac{1}{AI^2} = \dfrac{1}{\left(\dfrac{3a}{2}\right)^2} + \dfrac{1}{\left(\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \dfrac{4}{9a^2} + \dfrac{4}{3a^2} = \dfrac{16}{9a^2}\\
& \rightarrow AH^2 = \dfrac{9a^2}{16} \rightarrow AH = \dfrac{3a}{4}\\
& \rightarrow d(A, (A'BC)) = \dfrac{3a}{4} \rightarrow d(B', (A'BC)) = \dfrac{3a}{4}\\
& \text{Vậy } d(M, (A'BC)) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{3a}{4} = \dfrac{3a}{8}.
\end{aligned}$