Giải thích các bước giải:

$\begin{aligned}
& \text{Diện tích tam giác đều } ABC \text{ có cạnh } a = 3 \text{ cm là: } S_{ABC} = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{3^2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{9\sqrt{3}}{4} \text{ (cm}^2\text{).} \\
& \text{Gọi } H \text{ là trung điểm của cạnh } BC. \text{ Chiều cao của tam giác đều là: } AH = \dfrac{a\sqrt{3}}{2} = \dfrac{3\sqrt{3}}{2} \text{ (cm).} \\
& \text{Vì } O \text{ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều } ABC \text{ nên } O \text{ đồng thời là trọng tâm của tam giác.} \\
& \text{Khoảng cách từ tâm } O \text{ đến các cạnh của tam giác (bán kính đường tròn nội tiếp) là: } \\
& OH = \dfrac{1}{3}AH = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{3\sqrt{3}}{2} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \text{ (cm).} \\
& \text{Đường tròn vẽ từ tâm } O \text{ có bán kính } R = 1 \text{ cm. Nhận thấy } OH = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,866 < 1, \text{ do đó đường tròn} \\
& \text{cắt các cạnh của tam giác tại các điểm phân biệt. Gọi } M, N \text{ là giao điểm của đường tròn } (O; 1) \text{ với } BC. \\
& \text{Trong tam giác vuông } OHM, \text{ ta có: } HM = \sqrt{OM^2 - OH^2} = \sqrt{1^2 - \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{1 - \dfrac{3}{4}} = \dfrac{1}{2} \text{ (cm).} \\
& \Rightarrow MN = 2HM = 1 \text{ (cm). Vì } OM = ON = MN = 1 \text{ cm nên } \triangle MON \text{ là tam giác đều, suy ra } \widehat{MON} = 60^\circ. \\
& \text{Diện tích một hình viên phân của hình tròn nằm ngoài tam giác (giới hạn bởi dây } MN \text{ và cung } MN\text{) là:} \\
& S_{vp} = S_{quat(60^\circ)} - S_{\triangle MON} = \dfrac{\pi \cdot 1^2 \cdot 60^\circ}{360^\circ} - \dfrac{1^2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{\pi}{6} - \dfrac{\sqrt{3}}{4} \text{ (cm}^2\text{).} \\
& \text{Diện tích phần hình tròn nằm phía trong tam giác } ABC \text{ là:} \\
& S_{\text{tròn\_trong}} = S_{(O;1)} - 3 \cdot S_{vp} = \pi - 3\left(\dfrac{\pi}{6} - \dfrac{\sqrt{3}}{4}\right) = \pi - \dfrac{\pi}{2} + \dfrac{3\sqrt{3}}{4} = \dfrac{\pi}{2} + \dfrac{3\sqrt{3}}{4} \text{ (cm}^2\text{).} \\
& \text{Diện tích phần tam giác nằm ngoài hình tròn là:} \\
& S_{\text{ngoài}} = S_{ABC} - S_{\text{tròn\_trong}} = \dfrac{9\sqrt{3}}{4} - \left(\dfrac{\pi}{2} + \dfrac{3\sqrt{3}}{4}\right) = \dfrac{6\sqrt{3}}{4} - \dfrac{\pi}{2} = \dfrac{3\sqrt{3} - \pi}{2} = \dfrac{1}{2}(3\sqrt{3} - \pi) \text{ (cm}^2\text{).} \\
& \text{Theo đề bài, diện tích này có dạng } \dfrac{1}{2}(m\sqrt{m} - \pi) \text{. Đối chiếu ta có: } m\sqrt{m} = 3\sqrt{3} \Rightarrow \sqrt{m^3} = \sqrt{27} \Rightarrow m = 3. \\
& \text{Vậy giá trị của } m \text{ cần tìm là } 3.
\end{aligned}$