Vì các tam giác vuông tại bốn góc bằng nhau nên:

`"AE = BF = CG = DH"`

`"AH = BE = CF = DG"`

Gọi `"AE"  = x` `(m, 0 < x < 10)`

`=>  "AH"  = 10 - x` `(m)`

Xét tam giác `"AHE"` vuông tại `"A"`, áp dụng định lí Pythagore ta có:

`"HE"^2 =  "AE"^2 +  "AH"^2`

`"HE"^2 = x^2 + (10 - x)^2`

`"HE"^2 = x^2 + 100 - 20x + x^2`

`"HE"^2 = 2x^2 - 20x + 100`

`"HE"^2 = 2(x^2 - 10x + 25) + 50`

`"HE"^2 = 2(x - 5)^2 + 50`

Vì các tam giác `"AHE, BEF, CFG, DGH"` bằng nhau

Nên `"HE = EF = FG = GH"`

`=>` `"EFGH"` là hình thoi

Ta có: `hat"AHE"  = hat"BEF"` do `Delta"AHE"  = Delta"BEF"`

`hat("AEH") + hat("AHE") = 90^@`

`=> hat("AEH") + hat("BEF") = 90^@`

`=> hat("HEF") = 180^@ - (hat("AEH") + hat("BEF")) = 180^@ - 90^@ = 90^@`

`=>` `"EFGH"` là hình vuông

Chu vi hình vuông `"EFGH"` là: `4 *  "HE"`

Chu vi `"EFGH"` nhỏ nhất khi `"HE"` nhỏ nhất hay `"HE"^2` nhỏ nhất

Ta có:

`2(x - 5)^2 >= 0 AA x`

`=>  "HE"^2 = 2(x - 5)^2 + 50 >= 50`

Dấu bằng xảy ra khi:

`x - 5 = 0`

`x = 5` `(m)`

Vậy khoảng cách từ góc vườn A đến vị trí E là 5m để chu vi tứ giác EFGH nhỏ nhất