Đáp án+Giải thích các bước giải:

$a)$ Xét $\Delta ADB$ và $\Delta AEC$ có:

$\widehat{ADB}=\widehat{AEC}=90^{\circ}$ 

$\widehat{CAB}$ chung

$\Rightarrow\Delta ADB\backsim\Delta AEC$(góc.góc)

$b)$ Có: $\Delta ADB\backsim\Delta AEC\Rightarrow\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AD}{AE}$(cặp cạnh tương ứng)

$\Rightarrow AB.AE=AC.AD$

Xét $\Delta AED$ và $\Delta ACB$ có:

$\widehat{CAB}$ chung

$\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AD}{AB} (\Delta ADB\backsim\Delta AEC)$

$\Rightarrow\Delta AED\backsim\Delta ACB$(cạnh.góc.cạnh)

$\Rightarrow\widehat{AED}=\widehat{ACB}$(cặp góc tương ứng)

$c)$ Gọi $F$ là giao điểm của $AH$ và $BC$

Xét $\Delta ABC$ có: $BD$ là đường cao(gt)

$CE$ là đường cao(gt)

$BD$ cắt $CE$ tại $H$

$\Rightarrow H$ là trực tâm $\Delta ABC\Rightarrow AH$ là đường cao

$F \in AH\Rightarrow AF$ cũng đồng thời là đường cao

Xét $\Delta BFH$ và $\Delta BDC$ có:

$\widehat{DBC}$ chung

$\widehat{BFH}=\widehat{BDC}=90^{\circ}$

$\Rightarrow\Delta BFH\backsim\Delta BDC$(góc.góc)

$\Rightarrow\dfrac{BH}{BC}={BF}{BD}$(cặp cạnh tương ứng)

$\Rightarrow BH.BD=BF.BC$(1)

Tương tự chứng minh $\Delta CFH\backsim\Delta CEB$(góc.góc)

$\Rightarrow\dfrac{CF}{CE}=\dfrac{CH}{CB}\Rightarrow CH.CE=CF.CB$(2)

Cộng (1) và (2) ta được: $BH.BD+CH.CE=BF.BC+CF.BC=(BF+CF).BC=BC.BC=BC^{2}$