Gọi bán kính đáy khối trụ là \(r\), chiều cao là \(h\), bán kính nửa khối cầu là $R$ (\(0 < r, h < R\)).

Xét tam giác vuông tạo bởi tâm đáy dưới, tâm đáy trên và một điểm trên đường tròn đáy trên của hình trụ. Theo định lý Pythagore, ta có:\(r^2 + h^2 = R^2 \Rightarrow r^2 = R^2 - h^2\)

Thể tích khối trụ: \(V = \pi r^2 h = \pi (R^2 - h^2)h = \pi (R^2h - h^3)\)

Để thể tích của khối trụ đựng kem lớn nhất thìv\(A = (R^2 - h^2)h\) phải lớn nhất

Ta có:  

\(A^{2}=(R^{2}-h^{2})^{2}\cdot h^{2}\)

\(A^{2}=(R^{2}-h^{2})\cdot (R^{2}-h^{2})\cdot h^{2}\)

\(2A^{2}=(R^{2}-h^{2})\cdot (R^{2}-h^{2})\cdot 2h^{2}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương \((R^2 - h^2)\), \((R^2 - h^2)\) và \(2h^{2}\):\((R^{2}-h^{2})(R^{2}-h^{2})(2h^{2})\le \left[\frac{(R^{2}-h^{2})+(R^{2}-h^{2})+2h^{2}}{3}\right]^{3}\)

\(2A^{2}\le \left(\frac{2R^{2}}{3}\right)^{3}\)

\(2A^{2}\le \frac{8R^{6}}{27}\)

\(A^{2}\le \frac{4R^{6}}{27}\)

Suy ra:\(A\le \sqrt{\frac{4R^{6}}{27}}=\frac{2R^{3}}{3\sqrt{3}}\)

Khi đó:\(V_{max}=\pi \cdot \frac{2R^{3}}{3\sqrt{3}}\)

Thay \(R = 3\sqrt{3}\) vào ta được:\(V_{max}=\frac{2\pi \cdot (3\sqrt{3})^{3}}{3\sqrt{3}}=54\pi \text{\ (cm}^{3}\text{)}\)

Dấu "=" xảy ra khi:

\(R^2 - h^2 = 2h^2 \Leftrightarrow 3h^2 = R^2 \Leftrightarrow h = \frac{R}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 3 \text{ (cm)}\) (thỏa mãn điều kiện).

Vậy thể tích lớn nhất của khối trụ là \(54\pi\) cm³.