Giải thích các bước giải:

$\begin{aligned}
& \text{Xét phương trình: } x^2 - 2(m+1)x - m^2 - 3 = 0 \quad (1) \\
& \text{Ta có: } \Delta' = [-(m+1)]^2 - 1 \cdot (-m^2 - 3) \\
& \phantom{\text{Ta có: } \Delta'} = m^2 + 2m + 1 + m^2 + 3 \\
& \phantom{\text{Ta có: } \Delta'} = 2m^2 + 2m + 4 \\
& \phantom{\text{Ta có: } \Delta'} = 2\left(m^2 + m + \frac{1}{4}\right) + \frac{7}{2} \\
& \phantom{\text{Ta có: } \Delta'} = 2\left(m + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{7}{2} \\
& \text{Vì } 2\left(m + \frac{1}{2}\right)^2 \ge 0 \quad \forall m \Rightarrow 2\left(m + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{7}{2} > 0 \quad \forall m. \\
& \text{Do đó, } \Delta' > 0 \quad \forall m \in \mathbb{R}. \\
& \text{Suy ra phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt } x_1, x_2 \text{ với mọi } m. \\
& \text{Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có:} \\
& \begin{cases} 
x_1 + x_2 = 2(m+1) = 2m + 2 \\ 
x_1 x_2 = -m^2 - 3 
\end{cases} \\
& \text{Theo đề bài, hai nghiệm } x_1, x_2 \text{ thỏa mãn điều kiện:} \\
& (x_1 + x_2 - 6)^2 \cdot x_2 = (x_1 x_2 + 7)^2 \cdot x_1 \\
& \text{Thay các hệ thức Vi-ét vào điều kiện trên, ta được:} \\
& (2m + 2 - 6)^2 \cdot x_2 = (-m^2 - 3 + 7)^2 \cdot x_1 \\
& \Leftrightarrow (2m - 4)^2 \cdot x_2 = (-m^2 + 4)^2 \cdot x_1 \\
& \Leftrightarrow [2(m - 2)]^2 \cdot x_2 = [(2 - m)(2 + m)]^2 \cdot x_1 \\
& \Leftrightarrow 4(m - 2)^2 \cdot x_2 = (m - 2)^2(m + 2)^2 \cdot x_1 \\
& \Leftrightarrow 4(m - 2)^2 \cdot x_2 - (m - 2)^2(m + 2)^2 \cdot x_1 = 0 \\
& \Leftrightarrow (m - 2)^2 \left[ 4x_2 - (m + 2)^2 x_1 \right] = 0 \\
& \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 
(m - 2)^2 = 0 \quad (*)\\ 
4x_2 - (m + 2)^2 x_1 = 0 \quad (**) 
\end{array} \right. \\
& \text{Trường hợp 1: Từ } (*) \Rightarrow m - 2 = 0 \Leftrightarrow m = 2. \\
& \text{Trường hợp 2: Xét } (**) \Leftrightarrow 4x_2 = (m + 2)^2 x_1. \\
& \text{Nhân cả hai vế của (**) với } x_1 \text{, ta được:} \\
& 4x_1 x_2 = (m + 2)^2 x_1^2 \\
& \text{Thay } x_1 x_2 = -m^2 - 3 \text{ vào, ta có:} \\
& 4(-m^2 - 3) = (m + 2)^2 x_1^2 \\
& \Leftrightarrow -4(m^2 + 3) = [(m + 2)x_1]^2 \\
& \text{Ta thấy: } m^2 \ge 0 \Rightarrow m^2 + 3 \ge 3 > 0 \Rightarrow -4(m^2 + 3) < 0 \quad \forall m. \\
& \text{Trong khi đó: } [(m + 2)x_1]^2 \ge 0 \quad \forall m, x_1. \\
& \text{Một số âm không thể bằng một số không âm, do đó phương trình (**) vô nghiệm.} \\
& \text{Kết luận: } \text{Giá trị của tham số } m \text{ cần tìm là } m = 2.
\end{aligned}$