Giải thích các bước giải:

$\begin{align*}
& \text{1) Điều kiện: } 2n - 2 \neq 0 \Leftrightarrow n \neq 1 \text{ và } n \in \mathbb{Z}. \\
& \text{Để phân số } \frac{n+3}{2n-2} \text{ có giá trị nguyên thì tử số phải chia hết cho mẫu số, tức là:} \\
& (n+3) \,\, \vdots \,\, (2n-2) \\
& \Rightarrow 2(n+3) \,\, \vdots \,\, (2n-2) \quad \text{(Nhân thêm 2 để tạo hệ số của } n \text{ giống với mẫu số)} \\
& \Rightarrow (2n+6) \,\, \vdots \,\, (2n-2) \\
& \Rightarrow (2n - 2 + 8) \,\, \vdots \,\, (2n-2) \\
& \text{Vì bản thân } (2n-2) \text{ đã chia hết cho } (2n-2)\text{, nên ta bắt buộc phải có: } 8 \,\, \vdots \,\, (2n-2). \\
& \text{Suy ra } (2n-2) \text{ là ước của 8. Mặt khác, vì } 2n-2 = 2(n-1) \text{ luôn là số chẵn,} \\
& \text{nên ta chỉ xét các ước chẵn của 8. Ta có:} \\
& 2n-2 \in \{2; -2; 4; -4; 8; -8\} \\
& \Rightarrow 2(n-1) \in \{2; -2; 4; -4; 8; -8\} \\
& \Rightarrow n-1 \in \{1; -1; 2; -2; 4; -4\} \\
& \text{Ta tìm được các giá trị của } n \text{ tương ứng, nhưng do bước nhân 2 ở trên có thể sinh ra} \\
& \text{nghiệm ngoại lai, ta cần lập bảng và thử lại trực tiếp vào phân số ban đầu: } \\
& \text{+} \,\, n-1 = 1 \Rightarrow n = 2. \text{ Thử lại: } \frac{2+3}{2\cdot2-2} = \frac{5}{2} \text{ (Không nguyên } \rightarrow \text{Loại)} \\
& \text{+} \,\, n-1 = -1 \Rightarrow n = 0. \text{ Thử lại: } \frac{0+3}{2\cdot0-2} = \frac{3}{-2} \text{ (Không nguyên } \rightarrow \text{Loại)} \\
& \text{+} \,\, n-1 = 2 \Rightarrow n = 3. \text{ Thử lại: } \frac{3+3}{2\cdot3-2} = \frac{6}{4} \text{ (Không nguyên } \rightarrow \text{Loại)} \\
& \text{+} \,\, n-1 = -2 \Rightarrow n = -1. \text{ Thử lại: } \frac{-1+3}{2(-1)-2} = \frac{2}{-4} \text{ (Không nguyên } \rightarrow \text{Loại)} \\
& \text{+} \,\, n-1 = 4 \Rightarrow n = 5. \text{ Thử lại: } \frac{5+3}{2\cdot5-2} = \frac{8}{8} = 1 \text{ (Là số nguyên } \rightarrow \text{Nhận)} \\
& \text{+} \,\, n-1 = -4 \Rightarrow n = -3. \text{ Thử lại: } \frac{-3+3}{2(-3)-2} = \frac{0}{-8} = 0 \text{ (Là số nguyên } \rightarrow \text{Nhận)} \\
& \text{Vậy } n \in \{5; -3\} \text{ là các giá trị cần tìm.} \\
& \\
& \text{2) Ta nhận thấy các thừa số dưới mẫu có khoảng cách cách đều nhau là 5 đơn vị } \\
& (6-1=5; \,\, 11-6=5; \dots ; \,\, 31-26=5). \text{ Do đó, ta tách tử số } 5^2 = 25 = 5 \times 5 \text{ để biến đổi:} \\
& A = 5 \times \left( \frac{5}{1.6} + \frac{5}{6.11} + \dots + \frac{5}{26.31} \right) \\
& \text{Áp dụng } \frac{k}{a \times (a+k)} = \frac{1}{a} - \frac{1}{a+k}\text{, biểu thức trở thành:} \\
& A = 5 \times \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{6} + \frac{1}{6} - \frac{1}{11} + \dots + \frac{1}{26} - \frac{1}{31} \right) \\
& A = 5 \times \left( 1 - \frac{1}{31} \right) \\
& A = 5 \times \frac{30}{31} \\
& A = \frac{150}{31} \\
& \text{Vậy } A = \frac{150}{31}.
\end{align*}$