1: Gieo một đồng xu cân đối và đồng chất liên tiếp 2 lần. Tính xác suất để hai lần gieo xuất mặt giống nhau.

2: Trong hộp có 8 viên bị xanh và 7 viên bị đỏ có kích thước, khối lượng như nhau. Lấy ngẫu m từ trong hộp 3 viên bị. Tính xác suất để lấy được không quá 2 bí xanh.

3: Khai triển đa thức sau: (x + 3y)⁵

4: Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển (3/x + x)⁵. Tìm số hạng chứa x² trong khai triển (3x-5)⁴

5: Giải bóng chuyền VTV Cup gồm 9 đội bóng tham dự, trong đó có 6 đội nước ngoài và 3 của Việt Nam. Ban tổ chức cho bốc thăm ngẫu nhiên để chia thành 3 bảng A, B, C và mỗi bà đội. Tính xác suất để 3 đội bóng của Việt Nam ở 3 bàng khác nhau.

Giải thích các bước giải:

$\begin{aligned}
& \text{Câu 1:} \\
& \text{Gọi } \Omega \text{ là không gian mẫu của phép thử gieo đồng xu cân đối, đồng chất } 2 \text{ lần liên tiếp.} \\
& \text{Tập hợp các kết quả có thể xảy ra: } \Omega = \{SS; SN; NS; NN\} \Rightarrow n(\Omega) = 4. \\
& \text{Gọi } A \text{ là biến cố: "Hai lần gieo xuất hiện mặt giống nhau".} \\
& \text{Các kết quả thuận lợi cho } A \text{ là: } A = \{SS; NN\} \Rightarrow n(A) = 2. \\
& \text{Xác suất của biến cố } A \text{ là: } P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}. \\[15pt]

& \text{Câu 2:} \\
& \text{Tổng số bi trong hộp là: } 8 + 7 = 15 \text{ (viên bi).} \\
& \text{Số cách chọn } 3 \text{ viên bi ngẫu nhiên từ } 15 \text{ viên bi là: } n(\Omega) = C_{15}^3 = 455 \text{ (cách).} \\
& \text{Gọi } B \text{ là biến cố: "Lấy được không quá 2 bi xanh".} \\
& \text{Biến cố đối của } B \text{ là } \overline{B} \text{: "Lấy được cả 3 bi xanh".} \\
& \text{Số cách chọn } 3 \text{ bi xanh từ } 8 \text{ bi xanh là: } n(\overline{B}) = C_8^3 = 56 \text{ (cách).} \\
& \text{Xác suất của biến cố đối là: } P(\overline{B}) = \frac{n(\overline{B})}{n(\Omega)} = \frac{56}{455} = \frac{8}{65}. \\
& \text{Xác suất của biến cố } B \text{ là: } P(B) = 1 - P(\overline{B}) = 1 - \frac{8}{65} = \frac{57}{65}. \\[15pt]

& \text{Câu 3:} \\
& \text{Áp dụng công thức khai triển nhị thức Newton, ta có:} \\
& (x + 3y)^5 = C_5^0 x^5 (3y)^0 + C_5^1 x^4 (3y)^1 + C_5^2 x^3 (3y)^2 + C_5^3 x^2 (3y)^3 + C_5^4 x^1 (3y)^4 + C_5^5 x^0 (3y)^5 \\
& \phantom{(x + 3y)^5} = x^5 + 5x^4(3y) + 10x^3(9y^2) + 10x^2(27y^3) + 5x(81y^4) + 243y^5 \\
& \phantom{(x + 3y)^5} = x^5 + 15x^4y + 90x^3y^2 + 270x^2y^3 + 405xy^4 + 243y^5. \\[15pt]

& \text{Câu 4:} \\
& \text{a)} \text{ Tìm hệ số của số hạng chứa } x \text{ trong khai triển } \left(\frac{3}{x} + x\right)^5: \\
& \text{Số hạng tổng quát thứ } k+1 \text{ là: } T_{k+1} = C_5^k \left(\frac{3}{x}\right)^{5-k} x^k = C_5^k \cdot 3^{5-k} \cdot x^{-(5-k)} \cdot x^k \\
& \phantom{\text{Số hạng tổng quát thứ } k+1 \text{ là: } T_{k+1}} = C_5^k \cdot 3^{5-k} \cdot x^{2k-5} \quad (k \in \mathbb{N}, 0 \le k \le 5). \\
& \text{Số hạng chứa } x \text{ tương ứng với số mũ của } x \text{ bằng } 1: 2k - 5 = 1 \Leftrightarrow 2k = 6 \Leftrightarrow k = 3 \text{ (thỏa mãn).} \\
& \text{Hệ số cần tìm là: } C_5^3 \cdot 3^{5-3} = 10 \cdot 3^2 = 90. \\[5pt]
& \text{b)} \text{ Tìm số hạng chứa } x^2 \text{ trong khai triển } (3x - 5)^4: \\
& \text{Số hạng tổng quát thứ } k+1 \text{ là: } T_{k+1} = C_4^k (3x)^{4-k} (-5)^k = C_4^k \cdot 3^{4-k} \cdot (-5)^k \cdot x^{4-k} \quad (0 \le k \le 4). \\
& \text{Số hạng chứa } x^2 \text{ tương ứng với số mũ của } x \text{ bằng } 2: 4 - k = 2 \Leftrightarrow k = 2 \text{ (thỏa mãn).} \\
& \text{Số hạng cần tìm là: } C_4^2 \cdot 3^{4-2} \cdot (-5)^2 \cdot x^2 = 6 \cdot 9 \cdot 25 \cdot x^2 = 1350x^2. \\[15pt]

& \text{Câu 5:} \\
& \text{Số cách bốc thăm chia } 9 \text{ đội thành } 3 \text{ bảng A, B, C (mỗi bảng } 3 \text{ đội) là:} \\
& n(\Omega) = C_9^3 \cdot C_6^3 \cdot C_3^3 = 84 \cdot 20 \cdot 1 = 1680 \text{ (cách).} \\
& \text{Gọi } C \text{ là biến cố: "3 đội bóng của Việt Nam ở 3 bảng khác nhau".} \\
& \text{- Bước 1: Xếp } 3 \text{ đội Việt Nam vào } 3 \text{ bảng A, B, C, có } 3! = 6 \text{ (cách).} \\
& \text{- Bước 2: Xếp } 6 \text{ đội nước ngoài vào } 3 \text{ bảng A, B, C (mỗi bảng nhận thêm } 2 \text{ đội):} \\
& \quad \text{Chọn } 2 \text{ đội cho bảng A: } C_6^2 \text{ cách.} \\
& \quad \text{Chọn } 2 \text{ đội cho bảng B: } C_4^2 \text{ cách.} \\
& \quad \text{Chọn } 2 \text{ đội cho bảng C: } C_2^2 \text{ cách.} \\
& \Rightarrow \text{Số cách xếp đội nước ngoài là: } C_6^2 \cdot C_4^2 \cdot C_2^2 = 15 \cdot 6 \cdot 1 = 90 \text{ (cách).} \\
& \text{Số kết quả thuận lợi cho biến cố } C \text{ là: } n(C) = 6 \cdot 90 = 540 \text{ (cách).} \\
& \text{Xác suất của biến cố } C \text{ là: } P(C) = \frac{n(C)}{n(\Omega)} = \frac{540}{1680} = \frac{9}{28}.
\end{aligned}$